一、教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学*函数的必要性的重要性，激发学*的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2、教学用具：投影仪.
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1、复*初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈a．
其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．
注意：
①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=(k≠0)
比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
师：归纳总结
教学目标：
1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；
2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；
3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学*过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．
教学重点：
用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复述函数及函数的定义域的概念．
2．问题．
概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？
二、学生活动
1．理解函数的值域的概念；
2．能利用观察法求简单函数的值域；
3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．
三、数学建构
1．函数的值域：
（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之
为函数的值域；
（2）值域是集合B的子集．
2．xg(x)f(x)f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；
四、数*用
（一）例题．
例1已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(－2)，f(－1)，f(0)，f(1)．
例2根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．
（1）x∈{－1，0，1，2，3}；
（2）x∈R；
（3）x∈[－1，3]；
（4）x∈(－1，2]；
（5）x∈(－1，1)．
例3求下列函数的值域：
①＝；②＝．
例4已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x1234x1234
f(x)2341g(x)2143
分别求f(f(1))，f(g(2))，g(f(3))，g(g(4))的值．
（二）练*．
（1）求下列函数的值域：
①＝2－x2；②＝3－|x|．
（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．
（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．
（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．
（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．
五、回顾小结
函数的对应本质，函数的定义域与值域；
利用分解的思想研究复合函数．
六、作业
课本P31-5，8，9．
【高考要求】：三角函数的有关概念(B).
【教学目标】：理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义；了解弧度的意义,并能进行弧度与角度的互化.
理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；初步了解有向线段的概念,会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.
【教学重难点】：终边相同的角的意义和任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
【知识复*与自学质疑】
一、问题.
1、角的概念是什么？角按旋转方向分为哪几类？
2、在*面直角坐标系内角分为哪几类？与终边相同的角怎么表示？
3、什么是弧度和弧度制？弧度和角度怎么换算？弧度和实数有什么样的关系？
4、弧度制下圆的弧长公式和扇形的面积公式是什么？
5、任意角的三角函数的定义是什么？在各象限的符号怎么确定？
6、你能在单位圆中画出正弦、余弦和正切线吗？
7、同角三角函数有哪些基本关系式？
二、练*.
1.给出下列命题：
(1)小于的角是锐角；
(2)若是第一象限的角，则必为第一象限的角；
(3)第三象限的角必大于第二象限的角；
(4)第二象限的角是钝角；
(5)相等的角必是终边相同的角；终边相同的角不一定相等；
(6)角2与角的终边不可能相同；
(7)若角与角有相同的终边，则角（的终边必在轴的非负半轴上。其中正确的命题的序号是
2.设P点是角终边上一点，且满足则的值是
3.一个扇形弧AOB的面积是1，它的周长为4，则该扇形的中心角=弦AB长=
4.若则角的终边在象限。
5.在直角坐标系中，若角与角的终边互为反向延长线，则角与角之间的关系是
6.若是第三象限的角，则-，的终边落在何处？
【交流展示、互动探究与精讲点拨】
（1）求终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合；
(2)求终边落在阴影部分、且在上所有角的集合；
(3)求始边在OM位置，终边在ON位置的所有角的集合.
例2.（1）已知角的终边在直线上，求的值；
（2）已知角的终边上有一点A，求的值。
例3.若，则在第象限.
例4.若一扇形的周长为20，则当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【矫正反馈】
1、若锐角的终边上一点的坐标为，则角的弧度数为。
2、若，又是第二，第三象限角，则的取值范围是。
3、一个半径为的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是弧度或角度，该扇形的面积是.
4、已知点P在第三象限，则角终边在第象限。
5、设角的终边过点P，则的值为。
6、已知角的终边上一点P且，求和的值。
——《函数的概念》教案 (菁华3篇)
一、教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学*函数的必要性的重要性，激发学*的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2、教学用具：投影仪.
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1、复*初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈a．
其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．
注意：
①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=(k≠0)
比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
师：归纳总结
今天我说课的内容是函数的*代定义也就是函数的第一课时内容。
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学*，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的*代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的*代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数*代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的*代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以*年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的*代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学*热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预*为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：A→B，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练*课本52页第八题。
此练*能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的*代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的*代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数*代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
6.“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈A）是不是函数？
解：y=1可以化为y=0+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
四.课时小结：
1.映射的定义。
2.函数的*代定义。
3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4.函数*代定义的五大注意点。
五.课后作业及板书设计
书本P51*题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。
预*函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。
一、教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。
托马斯说：“函数概念是*代数学思想之花”。生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。
函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如*所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学”。
二、学生学*情况分析
函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：
(一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数;
(二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学*典型的对、指、幂和三解函数;
(三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。
1.有利条件
现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的.，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。
初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。
2.不利条件
用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。
三、教学目标分析
课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
1.知识与能力目标：
⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性;
⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系;
⑶会求简单函数的定义域和值域
2.过程与方法目标：
⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型;
⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.情感、态度与价值观目标：
感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。
四、教学重点、难点分析
1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数;
重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。
突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。
2.教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念;第二：符号“y=f(x)”的含义的理解.
难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。
突破难点：难点的突破要依托丰富的实例，从集合与对应的角度恰当地引导，而对抽象符号的理解则要结合函数的三要素和小例子进行说明。
五、教法与学法分析
1.教法分析
本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，关注学生的原有的知识基础，注重概念的形成过程，从初中的函数概念自然过度到函数的*代定我。
2.学法分析
在教学过程中我注意在教学中引导学生用模型法分析函数问题、通过自主学*法总结“区间”的知识。
——函数数学教案 (菁华9篇)
案例背景：
对数函数是函数中又一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数的概念，图象与性质的学*使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学*对数方程，对数不等式的基础.
案例叙述：
(一).创设情境
(师)：前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数.
反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数.这个熟悉的函数就是指数函数.
(提问)：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?
(学生)： 是指数函数，它是存在反函数的.
(师)：求反函数的步骤
(由一个学生口答求反函数的过程)：
由 得 .又 的值域为 ，
所求反函数为 .
(师)：那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数.
(二)新课
1.(板书) 定义：函数 的反函数 叫做对数函数.
(师)：由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?
(教师提示学生从反函数的三定与三反去认识，学生自主探究，合作交流)
(学生)对数函数的定义域为 ，对数函数的值域为 ，且底数 就是指数函数中的 ，故有着相同的限制条件 .
(在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质.)
2.研究对数函数的图像与性质
(提问)用什么方法来画函数图像?
(学生1)利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图.
(学生2)用列表描点法也是可以的。
请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图.
(师)由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图.
具体操作时，要求学生做到：
(1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等).
(2) 画出直线 .
(3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠* 轴对称为逐渐靠* 轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分.
学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出
和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：
教师画完图后再利用电脑将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：
然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)
3. 性质
(1) 定义域：
(2) 值域：
由以上两条可说明图像位于 轴的右侧.
(3)图像恒过(1,0)
(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称.
(5) 单调性：与 有关.当 时，在 上是增函数.即图像是上升的
当 时，在 上是减函数，即图像是下降的.
之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：
当 时，有 ;当 时，有 .
学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板*下来.
最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)
对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用.
(三).简单应用
1. 研究相关函数的性质
例1. 求下列函数的定义域：
(1) (2) (3)
先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制.
2. 利用单调性比较大小
例2. 比较下列各组数的大小
(1) 与 ; (2) 与 ;
(3) 与 ; (4) 与 .
让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程.
三.拓展练*
练*：若 ，求 的取值范围.
四.小结及作业
案例反思：
本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，因而在教学上采取教师逐步引导，学生自主合作的方式，从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质.
在教学中一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的`研究为主，教师只是不断地以反函数这条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学*兴趣.
教学目标：
1．理解的概念，了解三要素．
2．通过对抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．
3．通过定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学*．
教学重点难点：重点是在映射的基础上理解的概念；
难点是对抽象符号的认识与使用．
教学用具：投影仪
教学方法：自学研究与启发讨论式．
教学过程：
一、复*与引入
今天我们研究的内容是的概念．并不象前面学*的集合，映射一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对的认识，如是什么?学过什么?
(要求学生尽量用自己的话描述初中的定义，并试举出各类学过的例子)
学生举出如 等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生．
提问1． 是吗?
(由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是，理由是没有两个变量，也有的认为是，理由是可以可做 ．)
教师由此指出我们争论的焦点，其实就是定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．
二、新课
现在请同学们打开书翻到第50 页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．(约2-3分钟或开始提问)
提问2．新的的定义是什么?能否用最简单的语言来概括一下．
学生的回答往往是把书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发现定义的本质．
(板书)2．2
一、的概念
1．定义：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射 就叫做A到B的，记作 ．其中原象集合A称为定义域，象集C 称为值域．
问题3：映射与有何关系?(一定是映射吗?映射一定是吗?)
引导学生发现，是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集．
2．本质：是非空数集到非空数集的映射．(板书)
然后让学生试回答刚才关于 是不是的问题，要求从映射的角度解释．
此时学生可以清楚的看到 满足映射观点下的定义，故是一个，这样解释就很自然．
教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释 是个?
从映射角度看可以是 其中定义域是 ，值域是 ．
从刚才的分析可以看出，映射观点下的定义更具一般性，更能揭示的本质．这也是我们后面要对进行理论研究的一种需要．所以我们着重从映射角度再来认识．
3．的三要素及其作用(板书)
是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个时，应从这三方面去了解认识它．
例1 以下关系式表示吗?为什么?
(1) ； (2) ．
解：(1)由 有意义得 ，解得 ．由于定义域是空集，故它不能表示．
(2) 由 有意义得 ，解得 ．定义域为 ，值域为 ．
由以上两题可以看出三要素的作用
(1)判断一个关系是否存在．(板书)
例2 下列各中，哪一个与 是同一个．
(1) ； (2) (3) ； (4) ．
解：先认清 ，它是 (定义域)到 (值域)的映射，其中
．
再看(1)定义域为 且 ，是不同的； (2)定义域为 ，是不同的；
(4) ，法则是不同的；
而(3)定义域是 ，值域是 ，法则是乘2减1，与 完全相同．
求解后要求学生明确判断两个是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用．
(2)判断两个是否相同．（板书）
下面我们研究一下如何表示，以前我们学*时虽然会表示，但没有相系统研究的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从记号 说起．
4．对符号 的理解(板书)
首先让学生知道 与 的含义是一样的，它们都表示 是 的，其中 是自变量， 是值，连接的纽带是法则 ，所以这个符号本身也说明是三要素构成的整体．下面我们举例说明．
例3 已知 试求 (板书)
分析：首先让学生认清 的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算．
含义1：当自变量 取3时，对应的值即 ；
含义2：定义域中原象3的象 ，根据求象的方法知 ．而 应表示原象 的象，即 ．
计算之后，要求学生了解 与 的区别， 是常量，而 是变量， 只是 中一个特殊值．
最后指出在刚才的题目中 是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的 不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究．
三、小结
1. 的定义
2. 对三要素的认识
3. 对符号的认识
四、作业：略
五、板书设计
2．2 例1． 例3．
一. 的概念
1. 定义
2. 本质 例2． 小结：
3. 三要素的认识及作用
4. 对符号的理解
探究活动
在数学及实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与有关的问题如在我们身边就有不少分段的实例，下面就是一个生活中的分段．
夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤以上，每斤0．6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧，可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我钱，当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．
同学们，你知道顾客是怎样店主坑人了呢?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注意观察，积累，并学以至用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来．
答案：
若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,所以店主坑人了．
本文题目：高三数学教案：三角函数的周期性
一、学*目标与自我评估
1 掌握利用单位圆的几何方法作函数 的图象
2 结合 的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期
3 会用代数方法求 等函数的周期
4 理解周期性的几何意义
二、学*重点与难点
周期函数的概念， 周期的求解。
三、学法指导
1、 是周期函数是指对定义域中所有 都有
，即 应是恒等式。
2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。
四、学*活动与意义建构
五、重点与难点探究
例1、若钟摆的高度 与时间 之间的函数关系如图所示
(1)求该函数的周期;
(2)求 时钟摆的高度。
例2、求下列函数的周期。
(1) (2)
总结：(1)函数 (其中 均为常数，且
的周期T= 。
(2)函数 (其中 均为常数，且
的周期T= 。
例3、求证： 的周期为 。
例4、(1)研究 和 函数的图象，分析其周期性。
(2)求证： 的周期为 (其中 均为常数，
且
总结：函数 (其中 均为常数，且
的周期T= 。
例5、(1)求 的周期。
(2)已知 满足 ，求证： 是周期函数
课后思考：能否利用单位圆作函数 的图象。
六、作业：
七、自主体验与运用
1、函数 的周期为 ( )
A、 B、 C、 D、
2、函数 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函数 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函数 的周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
5、设 是定义域为R,最小正周期为 的函数，
若 ，则 的值等于 ()
A、1 B、 C、0 D、
6、函数 的最小正周期是 ，则
7、已知函数 的最小正周期不大于2，则正整数
的最小值是
8、求函数 的最小正周期为T，且 ，则正整数
的最大值是
9、已知函数 是周期为6的奇函数，且 则
10、若函数 ，则
11、用周期的定义分析 的周期。
12、已知函数 ，如果使 的`周期在 内，求
正整数 的值
13、一机械振动中，某质子离开*衡位置的位移 与时间 之间的
函数关系如图所示：
(1) 求该函数的周期;
(2) 求 时，该质点离开*衡位置的位移。
14、已知 是定义在R上的函数，且对任意 有
成立，
(1) 证明： 是周期函数;
(2) 若 求 的值。
教学目标：
1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；
3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．
教学重点：
常见幂函数的概念、图象和性质；
教学难点：
幂函数的单调性及其应用．
教学方法：
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学*，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．
教学过程：
一、问题情境
情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．
问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？
二、数学建构
1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．
2．幂函数＝x 图象的分布与 的关系：
对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；
若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；
若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；
对任意的 R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．
3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：
（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；
≤0时，图象过只过定点(1，1)．
（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；
＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．
三、数*用
例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性
（1）＝ ； （2）＝ ；（3）＝ ；（4）＝ ．
例2 比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1
（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2
例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．
练*：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；
③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有 （写出所有幂函数的序号）．
（2）函数 的定义域是 ．
（3）已知函数 ，当a＝ 时，f(x)为正比例函数；
当a＝ 时，f(x)为反比例函数；当a＝ 时，f(x)为二次函数；
当a＝ 时，f(x)为幂函数．
（4）若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为 ．
四、要点归纳与方法小结
1．幂函数的概念、图象和性质；
2．幂值的大小比较方法．
五、作业
课本P90-2，4，6．
一、教学目的
1．使学生初步理解二次函数的概念。
2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。
二、教学重点、难点
重点：对二次函数概念的初步理解。
难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
三、教学过程
复*提问
1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x—5；（4）y=x2 — 2。
2．什么是一无二次方程？
3．怎样用找点法画函数的图象？
新课
1．由具体问题引出二次函数的定义。
（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。
（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。
（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月*均增长率x之间的函数关系如何表示？
解：（1）函数解析式是S=πR2；
（2）函数析式是S=30L—L2；
（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即
y=50x2+100x+50。
由以上三例启发学生归纳出：
（1）函数解析式均为整式；
（2）处变量的最高次数是2。
我们说三个式子都表示的是二次函数。
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。
2．画二次函数y=x2的图象。
一、知识与技能
1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值
2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题
二、过程与方法
1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;
2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.
2.通过三角函数线学*，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维*惯，拓展思维空间
教学重点：三角函数线的作法及其简单应用
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
教学目的：
知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
能力目标：
1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
授课类型：复*课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复*引入：
1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.
2.确定下列各式的符号
(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值时, 有意义?
4．若三角形的两内角，满足sincs 0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cs 0 B：tansin 0
C：csct 0 D：ctcsc 0
6．已知是第三象限角且，问是第几象限角？
二、讲解新课：
1、求下列函数的定义域：
（1） ； （2）
2、已知 ，则为第几象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(csθ)cs(sinθ)的符号；
（2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出 的取值范围.
4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
证明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ为第三象限角.?
5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．
三、巩固与练*
1 求函数 的值域
2 设是第二象限的角，且 的范围.
四、小结：
五、课后作业：
1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：
(1) sinα 2、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称 ，角β的终边上的点Q与A关于直线=x对称.求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值. 一、锐角三角函数 正弦和余弦 第一課时：正弦和余弦（1） 教学目的 1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。 2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。 重点、难点、关键 1，重点：正弦的概念。 2，难点：正弦的概念。 3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。 教学过程 一、复*提问 1、什么叫直角三角形？ 2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？ 二、新授 1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题： （1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达） （2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形） （3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的*地或纸张，再说画图也不方便。） （4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。） 但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。 2，在RT△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。 类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边／斜边＝BC／AB＝BC／＝1／＝／2 这就是说，当∠A＝450时，∠A的对边与斜边的比值等于／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的'对边BC的长。 那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？ （引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值。） 三、巩固练*： 在△ABC中，∠C为直角。 1，如果∠A＝600，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？ 2，如果∠A＝600，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？ 3，如果∠A＝300，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？ 4，如果∠A＝450，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？ 四、小结 五、作业 1，复*教科书第1－3页的全部内容。 2，选用課时作业设计。 学*目标： 1、能解释二次函数 的图像的位置关系; 2、体会本节中图形的变化与 图形上的点的坐标变化之间的关系(转化)，感受形数 结合的数学思想等。 学*重点与难点： 对二次函数 的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学*重点;难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。 学*过程： 一、知识准备 本节课的学*的内容是课本P12-P14的内容,内容较长，课本上问题较多，需要你操作、观察、思考和概括，请你注意：学*时要圈、点、勾、画，随时记录甚至批注课本，想想那个人是如何研究出来的。你有何新的发现呢? 二、学*内容 1.思考：二次函数 的图象是个什么图形?是抛物线吗?为什么?(请你仔细看课本P12-P13，作出合理的解释) x -3 -2 -1 0 1 2 3 类似的：二次函数 的图象与函数 的图象有什么关系? 它的对称轴、顶点、最值、增减性如何? 2.想一想：二次函数 的图象是抛物线吗?如果结合下表和看课本P13-P14你的解释是什么? x -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 类似的：二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系 ?它的对称轴、顶点呢?它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢 三、知识梳理 1、二次函数 图像的形状，位置的关系是： 2、它们的性质是： 四、达标测试 ⒈将抛物线y=4x2向上*移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。 将抛物线y=-5x2+1向下*移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。 将函数y=-3x2+4的图象向 *移 个单位可得y=-3x2的图象; 将y=2x2-7的图象向 *移 个单位得到可由 y=2x2的图象。 将y=x2-7的图象向 *移 个单位 可得到 y=x2+2的图象。 2.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x 轴 *移了 个单位; 抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴 *移了 个单位. 抛物线y=-3(x-1)2的顶点是 ;对称轴 是 ; 抛物线y=-3(x+1)2的顶点是 ;对称轴是 . 3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,即当x 时, y随着x的增大而 ; 在对称轴(x=1)右侧,即当x 时, y随着x的增大而 .当x= 时,函数y有最 值,最 值是 ; 二次 函数y=2x2+5的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 。 4.将函数y=3 (x-4)2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ; 将函数y=3(x-4)2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ; 5.把抛物线y=a(x-4)2向左*移6个单位后得到抛物线y=- 3(x-h)2的图象，则a= ，h= . 函数y=(3x+6)2的图象是由函数 的图象向左*移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，y有最 值是 . 6.已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1x2), x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 ( ) A. a+c B. a-c C. c D. c 7.已知二次函数y=a(x-h)2, 当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点(1，-3)，求此函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大? ——函数数学教案 (菁华5篇) 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。(实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标) 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： (1) (代数法)求方程f(x)=0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 1)△0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程f(x)=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点. 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼*零点,进而得到零点*似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程*似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0，给定精确度ε; ⑵求区间(a,b)的中点c; ⑶计算f(c), ①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)) ③若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)) (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|ε,则得到零点*似值为a(或b);否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用： (1)评价模型： 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 (2)几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a0) 指数函数：y=ax(a1) 指数型函数： y=kax(k1) 幂函数： y=xn( nN*) 对数函数：y=logax(a1) 二次函数：y=ax2+bx+c(a0) 增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax) 解不等式 (1) log2x x2 (2) log2x 2x (3)分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。 (4)二次函数模型： y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最*的点代进求最值。 (5)数学建模： 一、内容和内容解析; 1、内容：人教版八上第十四章一次函数14.22(2)一次函数的图像 2、内容解析：教材的地位和作用：本节课主要是在学生学*了函数图象的基础上，通过动手操作接受一次函数图象是直线这一事实，在实践中体会两点法的简便，向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的图形，生动形象的变化来发现两个一次函数图象在直角坐标系中的位置关系。培养学生主动学*、主动探索、合作学*的能力。本节课为探索一次函数性质作准备。 二、目标和目标解析 1、教学目标的确定 教学目标是教学的出发点和归宿。因此，我根据新课标的知识、能力和德育目标的要求，以学生的认知点，心理特点和本课的特点来制定教学目标。 知识目标 (1)能用两点法画出一次函数的图象。 (2)结合图象，理解直线y=kx+b(k、b是常数，k0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响。 能力目标 (1)通过操作、观察，培养学生动手和归纳的能力。 (2)结合具体情境向学生渗透数形结合的数学思想。 情感目标 (1)通过动手操作，观察探索一次函数的特征，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的*惯。 (2)让学生通过直观感知、动手操作去经历、体会规律形成的过程。 2、教学重点、难点 用两点法画出一次函数的图象是研究一次函数的性质的基础，是本节课的重点。直线y=kx+b(k、b是常数，k0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响，是本节课的难点。关键是通过学生的直观感知、动手操作、合作交流归纳其规律。 三、教学问题诊断分析 1、由用描点法画函数的图象的认识，学生能接受一次函数的图象是直线，结合两点确定一条直线，学生能画出一次函数图象。 2、根据学生抽象归纳能力较差，学*直线y=kx+b(k、b是常数，k0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响有难度。所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出图象变化特征的探索过程，自主探索出其规律。 3、抓住初中学生的心理特征，运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，吸引他们的注意力;另一方面积极创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学*的主动性。 四、教学支持条件分析 恰当运用现代教育技术手段，采用自主探究合作交流式教学，让学生动手操作，主动去探索，小组合作交流。而互动式教学将顾及到全体学生，让全体学生都参与，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。 五、教学过程设计 (一)、设疑，导入新课(2分钟) 通过前面的学*我们可以发现，一次函数是一种特殊的函数，那么一次函数的图象是什么形状呢? 一次函数的图象。(板书课题) 导学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义; 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学*过程(预*教材P27~ P29，找出疑惑之处) 引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢? 复*1：观察下列各个函数的图象. 探讨：随x的增大， y的值有什么变化? 复*2：画出函数 、 的图象. 合作探究 思考：根据 、 的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化?当x x 时，f(x )与f(x )的大小关系怎样? 问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质? 新知： 反思： ① 图象如何表示单调增、单调减?② 所有函数是不是都具有单调性? ③ 函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性. 学*过程 例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明. (1) ; (2) . ﹡例2求证 的(0,1)上是减函数，在 是增函数. 例3 判断函数 在区间 上的单调性并证明. 课堂小结 1. 增函数、减函数、单调区间的定义; 2. 判断函数单调性的方法(图象法、定义法). 3. 证明函数单调性的步骤：取值作差变形 定号下结论. 知识拓展 函数 的增区间有 、 ，减区间有 、 . 学*评价 1. 函数 的单调增区间是( ) A. B. C. R D.不存在 2. 如果函数 在R上单调递减，则( ) A. B. C. D. 3. 在区间 上为增函数的是( ) A. B. C. D. 4. 函数 的单调性是 . 5. 函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .[] 课后作业 1. 讨论 的单调性并证明. 2. 讨论 的单调性. 3. 指出下列函数的单调区间及单调性. (1) ; (2) . 4. 证明函数 在定义域上是减函数。 5. 证明： 在 上是减函数。 6. 已知函数 在 上为增函数，且 ，试判断 在 上的单调性并给出证明过程。 7. 作出函数 的图像，并指出函数 的单调区间。 8. 已知函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围。 一、目的要求 1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。 2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。 二、内容分析 1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学*函数的，前面三小节，先学*函数的概念与表示法，这是为学*后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学*一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学*，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。 2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学*一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学*反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学*反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学*效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。 3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学*，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学*，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学*二次函数、反比例函数的学*方法。 三、教学过程 复*提问： 1、什么是函数? 2、函数有哪几种表示方法？ 3、举出几个函数的例子。 新课讲解： 可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考： (1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。) (2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。) (3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。) (4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。) 由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。 一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。 对这个定义，要注意： (1)x是变量，k，b是常数； (2)k≠0(当k＝0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。) 由一次函数出发，当常数b＝0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。 在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复*小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 第二十四教时 教材：倍角公式，推导和差化积及积化和差公式 目的：继续复*巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练;同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。 过程： 一、 复*倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程： 例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + (《教学与测试》P115 例三) 解： 又∵tan2 0，tan 0 ， 2 + = 例二、 已知sin cos = ， ，求 和tan的值 解：∵sin cos = 化简得： ∵ 即 二、 积化和差公式的推导 sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )] sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )] cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )] cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )] 这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将积式化为和差，有利于简化计算。(在告知公式前提下) 例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32 证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2 = (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2 = cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2 = cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1) = cos22cos22 = cos32 = 右边 原式得证 三、 和差化积公式的推导 若令 + = ， = ，则 ， 代入得： 这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。 例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值 解：∵cos cos = ， ① sin sin = ， ② 四、 小结：和差化积，积化和差 五、 作业：《课课练》P3637 例题推荐 13 P3839 例题推荐 13 P40 例题推荐 13 ——函数概念教案 (菁华5篇) 教学目标： 1、进一步理解的概念，能从简单的实际事例中，抽象出关系，列出解析式； 2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围. 3、会求值，并体会自变量与值间的对应关系. 4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量的取值范围的求法. 5、通过的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的. 教学重点：了解的意义，会求自变量的取值范围及求值. 教学难点：概念的抽象性. 教学过程： （一）引入新课： 上一节课我们讲了的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的. 生活中有很多实例反映了关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与吗？ 1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系. 2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系. 解：1、y=30n y是，n是自变量 2、 ，n是，a是自变量. （二）讲授新课 刚才所举例子中的，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数. 例1、求下列中自变量x的取值范围． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：在（1）、（2）中，x取任意实数， 与 都有意义. （3）小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ，因此要求 . 同理（4）小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 . 第（5）小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 ． 同理，第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数, . 解：（1）全体实数 （2）全体实数 （3） （4） 且 （5） （6） 小结：从上面的例题中可以看出的解析式是整数时，自变量可取全体实数；的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零. 注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似. 但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成 或 .在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里 与 是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取. 教学目标： 1．通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应； 2．了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域； 3．通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学*过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考． 教学重点： 两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域． 教学过程： 一、问题情境 1．情境． 正方形的边长为a，则正方形的周长为 ，面积为 ． 2．问题． 在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？ 二、学生活动 1．复述初中所学函数的概念； 2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解； 3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质． 三、数学建构 1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）； 问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题： （1）这一变化过程中，有哪几个变量？ （2）这几个变量的范围分别是多少？ 问题2 略． 问题3 略（详见23页）． 2．函数：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为＝f（x），x∈A．其中，所有输入值x组成的集合A叫做函数＝f（x）的定义域． （1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系； （2）函数的本质是一种对应； （3）对应法则f可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格 （4）对应是建立在A、B两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f（x）＝2x，（x＝0）． 3．函数＝f（x）的定义域： （1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线； （2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没 有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数． 四、数*用 例1．判断下列对应是否为集合A 到 B的函数： （1）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x； （2）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x； （3）A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x． 练*：判断下列对应是否为函数： （1）x→2x，x≠0，x∈R； （2）x→，这里2＝x，x∈N，∈R。 例2 求下列函数的定义域： （1）f（x）＝x—1；（2）g（x）＝x＋1＋1x。 例3 下列各组函数中，是否表示同一函数？为什么？ A．＝x与＝（x）2； B．＝x2与＝3x3； C．＝2x－1（x∈R）与＝2t－1（t∈R）； D．＝x＋2x－2与＝x2－4 练*：课本26页练*1～4，6． 五、回顾小结 1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应（A→B） 2．函数的对应本质； 3．函数的对应法则和定义域． 六、作业： 课堂作业：课本31页*题2。1（1）第1，2两题． 教学目标： 1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应； 2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数； 3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学*过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考． 教学重点： 用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域． 教学过程： 一、问题情境 1．情境． 复述函数及函数的定义域的概念． 2．问题． 概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？ 二、学生活动 1．理解函数的值域的概念； 2．能利用观察法求简单函数的值域； 3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域． 三、数学建构 1．函数的值域： （1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之 为函数的值域； （2）值域是集合B的子集． 2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域； 四、数*用 （一）例题． 例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)． 例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域． （1）x∈{－1，0，1，2，3}； （2）x∈R； （3）x∈[－1，3]； （4）x∈(－1，2]； （5）x∈(－1，1)． 例3 求下列函数的值域： ①＝ ；②＝ ． 例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出： x1234x1234 f(x)2341g(x)2143 分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值． （二）练*． （1）求下列函数的值域： ①＝2－x2；②＝3－|x|． （2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)． （3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现． （4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域． （5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域． 五、回顾小结 函数的对应本质，函数的定义域与值域； 利用分解的思想研究复合函数． 六、作业 课本P31-5，8，9． 教学目标： 1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应； 2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数； 3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学*过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考． 教学重点： 用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域． 教学过程： 一、问题情境 1．情境． 复述函数及函数的定义域的概念． 2．问题． 概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？ 二、学生活动 1．理解函数的值域的概念； 2．能利用观察法求简单函数的值域； 3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域． 三、数学建构 1．函数的值域： （1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域； （2）值域是集合B的子集． 2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域； 四、数*用 （一）例题． 例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)． 例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域． （1）x∈{－1，0，1，2，3}； （2）x∈R； （3）x∈[－1，3]； （4）x∈(－1，2]； （5）x∈(－1，1)． 例3 求下列函数的值域： ①＝ ；②＝ ． 例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出： x1234x1234 f(x)2341g(x)2143 分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值． （二）练*． （1）求下列函数的值域： ①＝2－x2；②＝3－|x|． （2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)． （3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现． （4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域． （5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域． 五、回顾小结 函数的对应本质，函数的定义域与值域； 利用分解的思想研究复合函数． 六、作业 课本P31-5，8，9． 教学目标 1、使学生掌握的概念，图象和性质。 （1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。 （2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。 （3）x能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如x的图象。 2、x通过对的概念图象性质的学*，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。 3、通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学*数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。 教学建议 教材分析 （1）x是在学生系统学*了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学*对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。 （2）x本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数x在x和x时，函数值变化情况的区分。 （3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。 教法建议 （1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是x的样子，不能有一点差异，诸如x，x等都不是。 （2）对底数x的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学*对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。 关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。 教学设计示例 课题 教学目标 1、x理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。 2、x通过的图象和性质的学*，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。 3、x通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学*兴趣。 教学重点和难点 重点是理解的定义，把握图象和性质。 难点是认识底数对函数值影响的认识。 教学用具 投影仪 教学方法 启发讨论研究式 教学过程 一、x引入新课 我们前面学*了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数。 1、6、（板书） 这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题： 问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数x与x之间，构成一个函数关系，能写出x与x之间的函数关系式吗？ 由学生回答：x与x之间的关系式，可以表示为x。 问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为x米，试写出x与x之间的函数关系。 由学生回答：x。 在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。 x的概念（板书） 1、定义：形如x的函数称为。（板书） 教师在给出定义之后再对定义作几点说明。 2、几点说明x（板书） （1）x关于对x的规定： 教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若x会有什么问题？如x，此时x，x等在实数范围内相应的函数值不存在。 若x对于x都无意义，若x则x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定x且x。 （2）关于的定义域x（板书） 教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时，x也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的"性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为x。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。 （3）关于是否是的判断（板书） 刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。 （4）x，x （5）x。 学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3）x可以写成x，也是指数图象。 最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。 3、归纳性质 作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。 函数 1、定义域x： 2、值域： 3、奇偶性x：既不是奇函数也不是偶函数 4、截距：在x轴上没有，在x轴上为1。 对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于x轴上方，且与x轴不相交。） 在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故x的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。 此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当x越小，图象越靠*x轴，x越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。 二、图象与性质（板书） 1、图象的画法：性质指导下的列表描点法。 2、草图： 当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且x，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取x为例。 此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单。即x=x与x图象之间关于x轴对称，而此时x的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到x的图象。 最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如x的图象一起比较，再找共性） 由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下： 以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。 填好后，让学生仿照此例再列一个x的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。 3、性质。 （1）无论x为何值，x都有定义域为x，值域为x，都过点x。 （2）x时，x在定义域内为增函数，x时，x为减函数。 （3）x时，x，x x时，x。 总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。 三、简单应用x （板书） 1、利用单调性比大小。x（板书） 一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。 例1、x比较下列各组数的大小 （1）x与x;x（2）x与x; （3）x与1x。（板书） 首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。 解：x在x上是增函数，且 教师最后再强调过程必须写清三句话： （1）x构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。 （2）x自变量的大小比较。 （3）x函数值的大小比较。 后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。 例2。比较下列各组数的大小 （1）x与x;x（2）x与x ; （3）x与x。（板书） 先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说x可以写成x，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说x可以写成x，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用） 最后由学生说出x>1，<1。 解决后由教师小结比较大小的方法 （1）x构造函数的方法：x数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的） （2）x搭桥比较法：x用特殊的数1或0。 四、巩固练* 练*：比较下列各组数的大小（板书） （1）x与x x（2）x与x; （3）x与x;x（4）x与x。解答过程略 五、小结 1、的概念 2、的图象和性质 3、简单应用 六、板书设计 ——幂函数教案 (菁华3篇) 一、教学内容分析 教材地位：幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化、 教学重点：幂函数的图像与性质、 教学难点：以幂函数为背景的图像变换、 二、教学目标设计 能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质；理解幂函数图像的演进及单调性质；理解幂函数图形特征与代数特征的对称联系，在函数性质的应用中体会它的价值。能以幂函数为背景进行基本的函数图像的*移和对称变换、 三、教学流程设计 设置情境→探索研究→总结提炼 →尝试应用→练*回馈→设置评价 五、教学过程设计 1、情境设置 指导学生描画一些典型的幂函数的图像，回忆并归纳幂函数的性质、 2、探索研究 问题：如图所示的分别是幂函数①，②，③，④，⑤，⑥，⑦在坐标系中第一象限内的图像，请尽可能精确地将指数的范围分别确定出来 3、总结提炼 揭示幂函数图像特征与底数的依赖关系、师生共同整理出规律性结论、 4、尝试应用 ①（1）研究函数的图像之间的关系； （2）在同一坐标中作上述函数的图像； （3）由所作函数的图像判断最后一个函数的奇偶性、单调性、 ②已知函数 （1）试求该函数的零点，并作出图像； （2）是否存在自然数，使=1000，若存在，求出；若不存在，请说明理由、 ③作函数的大致图像、 5、练*回馈 课本第83页练*4、1（2） 六、教学评价设计 *题4、1—— B组（根据学生具体情况选用） 一、教材分析 幂函数是学生在系统学*了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质(定义域、值域、图像、奇偶性、单调性)研究一个函数的意识。因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。从概念到图象( )，利用这五个函数的图象探究其定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点，概括、归纳幂函数的性质，培养学生从特殊到一般再到特殊的一般认知规律。从教材的整体安排看，学*了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究。 二、教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水*和心理特征，确定本节课的教学目标如下： [知识与技能] 使学生了解幂函数的定义，会画常见幂函数的图象，掌握幂函数的图象和性质，初步学会运用幂函数解决问题，进一步体会数形结合的思想。 [过程与方法] 引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的.思维能力，体会数学概念的学*方法;通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学*数学规律的方法，体验成功的乐趣;对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力;运用性质解决问题时，进一步强化数形结合思想。 [情感、态度与价值观] 通过生活实例引出幂函数概念，使学生体会生活中处处有数学，激发学生的学*兴趣。通过本节课的学*，使学生进一步加深研究函数的规律和方法;提高学生的学*能力;养成积极主动，勇于探索，不断创新的学**惯和品质;树立学科学，爱科学，用科学的精神。 三、重、难点分析 [教学重点] (1)幂函数的定义与性质; (2)指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)的影响。从知识体系看，前面有指数函数与对数函数的学*，后面有其他函数的研究，本节课的学*具有承上启下的作用;就知识特点而言，蕴涵丰富的数学思想方法;就能力培养来说，通过学生对幂函数性质的归纳，可培养学生类比、归纳概括能力，运用数学语言交流表达的能力。 [教学难点] (1)指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)性态的影响。 (2)数形结合解决大小比较以及求参数的问题。从学生认知发展看，他们具备一定的学*新函数的能力，可以通过学*指数函数与对数函数的方法来类比，但毕竟幂函数在三种初等函数中是最难的，因为它分类的情况很多，且性质多而复杂，我采用让学生自己利用计算机作出函数的图像，从中归纳性质的方法来突破难点。 四、学情与教法分析 1. 学情分析 从学生思维特点来和认知结构看，前面学生已经学*指数函数与对数函数，对新函数的学*已经有了一定的经验。一方面可以把本节课与前面的指数函数与对数函数进行类比学*，但另一方面本节课分类情况多，性质归纳困难，尤其是三个函数放在一起可能产生混淆。对进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 2. 教法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维*惯上还有待教师引导从学生原有的知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。采用引导发现式的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。 3.教学构想 新课标的要求是通过实例，了解y=x， ， ， ， 的图像，了解它们的变化情况。而原数学教学大纲要求掌握幂函数的概念及其图像和性质，在考查掌握函数性质和运用性质解决问题时，所涉及的幂函数f(x)=xα中 α限于在集合{-2,-1,-,,,1,2,3}中取值。新课标无论从内容的容量和难度上都要远低于旧课标。而苏教版的教材严格按照新课标要求处理此部分内容，内容体系均未超出课标要求。所以我们应以新课标为准绳，控制难度与要求。由于本节课的难点在于指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)性态的影响，本身幂函数比较抽象，所以我采用在多媒体教室让学生用Excel来模拟得到图象，再从图象上观察、归纳函数的性质。从心理学上讲，自己经历知识的发生发展过程，印象更深刻，学生容易接受与理解。 五、教具准备 教师准备教科书、多媒体课件，在计算机教室。 六、教学过程 教学 环节 教学设计 设计 意图 教学内容 教师活动 学生活动 ? 问 题 情 景 1 我们知道：一定，?的变化而变化，我们建立了指数函数?一定，?的变化而变化，我们建立了对数函数?一定，?的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？ 打开多媒体课件，带领大家一起回顾前面的知识点。 在老师的引导下，展开思维分析。 知识点回顾，揭示函数之间的联系，追求函数的完美,知识体系的完备性。 ? 问 题 情 景 2 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数。 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S = a2，这里S是a的函数。 问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V = a3，这里V是a的函数。 问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S?km/s，这里v是t的函数。 引导学生观察五个有关幂函数模型的生活实例，帮助学生归纳这些函数的共同特征。 由于是熟悉的背景，学生求函数的解析式还是轻松的，只是从中归纳函数的共同特点有点困难。 主要目的是引出五种典型的幂函数，为后面三大类幂函数的归纳总结打下基础。提出日常生活中的问题，学生既容易理解，又可以增加学*的兴趣。 得出幂函数的定义 我们把形如：?是实常数。 ? 判断下列函数那些是幂函数: ①y=x－2;②y=2x2;③y=(2x)0.5;④y=2x 让学生归纳总结，类比指数函数与幂函数，指出形式上的特点：①底数只能是自变量x，②x前系数只能为1。 观察、分析，概括。在练*的过程中加深对概念的理解和形式的注意。 学生自主探究，培养学生的观察、概括能力。 建 构 数 学 例2、求下列函数的定义域，判断它们的奇偶性。 （1） （3）利用Excel作出下列幂函数的图象并观察其特点。 （1）y=x （2）? （3） 在前面例1的基础上利用函数的定义域，列出数据，先用计算机模拟画出图象示范给学生看，让学生自己动手操作，一边巡视一边指导。 同时引导学生观察、思考填写表格。启发学生类比前面研究指数和对数函数的方法，从特殊到一般，归纳总结幂函数的性质。 学生自己跟着老师的步骤操作，利用计算机作出五种典型函数的图象，让学生观察和分析所作的图象，归纳得出图象特征，并由图象特征得到相应的函数性质。经历知识发生过程，性质的归纳不断由学生补充，修改和完善，学会数学语言的运用与交流，体会合作学*的快乐与成功带来的成就感。 预见到学生对抽象的幂函数理解比较困难，所以让学生亲身经历知识的发生发展过程，印象更加深刻。在归纳总结的过程中，培养学生研究新函数从特殊到一般，类比联想的数学方法；积累学生独立思考与互相合作学*的经验。 归 ? 纳 ? 概 ? 括 教学目标 1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性． 2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力． 3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育． 教学重点与难点 教学重点：函数单调性的概念． 教学难点：函数单调性的判定． 教学过程设计 一、引入新课 师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？ （用投影幻灯给出两组函数的图象．） 第一组： 第二组： 生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小． 师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学*一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容． （点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．） 二、对概念的分析 （板书课题：） 师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍． （学生朗读．） 师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？ 生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！ （通过教师的情绪感染学生，激发学生学*数学的兴趣．） 师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力． （指图说明．） 师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间． （教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．） 师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应…… （不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．） 生：较大的函数值的函数． 师：那么减函数呢？ 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． （学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．） 师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？ （学生思索．） 学生在高中阶段以至在以后的学*中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力． （教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．） 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语． 师：很好，我们在学*任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学*几个相*的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？ 生：不能．因为此时函数值是一个数． 师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？ 生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数． （在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．） 师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间． 师：还有没有其他的关键词语？ 生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？ （学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．） 师：“属于”是什么意思？ 生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取． 师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？ 生：可以． 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）． 师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？ （让学生思考片刻．） 生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了． 师：那么如何来说明“都有”呢？ 生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数． 师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性． （教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．） 师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系． （用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学*的能力．） 三、概念的应用 例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？ （用投影幻灯给出图象．） 生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间． 生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？ 师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然． 例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径． （指出用定义证明的必要性．） 师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程． （教师巡视，并指定一名中等水*的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．） 师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系． 生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时， f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0， 所以f（x）是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全*方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）． 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小． （对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维*惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．） 调函数吗？并用定义证明你的结论． 师：你的结论是什么呢？ 上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数． 生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数． 域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间． 上是减函数． （教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示： （1）分式问题化简方法一般是通分． （2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1． 要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变． 对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．） 四、课堂小结 师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？ （请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．） 生：这节课我们学*了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤． 五、作业 1．课本P53练*第1，2，3，4题． 数． =a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2） =（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*） +b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）． 课堂教学设计说明 是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理． 另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学*中学有所用． 还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学*的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫． ——函数概念说课稿范文五份 第一大块：教材分析 一、本课时在教材中的地位及作用 函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中。本章节9个课时，函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。这一章内容渗透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学*，无疑对学生今后的学*起着深刻的影响。 本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。也为进一步学*函数这一章的其它内容提供了方法和依据 二、教学目标 理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的`函数的定义域、值域。 通过对实际问题分析、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。 通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质。 三、重难点分析确定 根据上述对教材的分析及新课程标准的要求，确定函数的概念既是本节课的重点，也应该是本章的难点 第二大块：说教法、学法 一、教学基本思路及过程 本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课（借助小黑板）从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用，也为进一步学*函数这一章的其它内容提供了方法和依据。 二、学情分析 一方面学生在初中已经学*了变量观点下的函数定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数已经有了一定的感性认识；另一方面在本书第一章学生已经学*了集合的概念，这为学*函数的现代定义打下了基础。 函数在初中虽已讲过，不过较为肤浅，本课主要是从两个集合间对应来描绘函数概念，是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高，学生学起来有一定的难度，加上学生数学基础较差，理解能力，运算能力等参差不齐等。 三、教法、学法 1、本节课采用的方法有： 直观教学法、启发教学法、课堂讨论法。 2、采用这些方法的理论依据： 我一方面精心设计问题情景，引导学生主动探索，另一方面，依据本节为概念学*的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学*过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，充分体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 尊敬的各位评委、老师们： 大家好！ 今天我说课的内容是《函数的概念》，选自人教版高中数学必修一第一章第二节。下面介绍我对本节课的设计和构思，请您多提宝贵意见。 我的说课有以下六个部分： 一、背景分析 1、学*任务分析 本节课是必修1第1章第2节的内容，是函数这一章的起始课，它上承集合，下引性质，与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容联系密切，是学好后继知识的基础和工具，所以本节课在数学教学中的地位和作用是至关重要的。 2、学情分析 学生在初中已经学*了函数的概念，初步具备了学*函数概念的基本能力，但函数的概念从初中的变量学说到高中阶段的对应说很抽象，不易理解。 另外，通过对集合的学*，学生基本适应了有效教学的课堂模式，初步具备了小组合作、自主探究的学*能力。 基于以上的分析，我认为本节课的教学重点为：函数的概念以及构成函数的三要素； 教学难点为：函数概念的形成及理解。 二、教学目标设计 根据《课程标准》对本节课的学*要求，结合本班学生的情况，故而确立本节课的教学目标。 1、知识与技能（方面） 通过丰富的实例，让学生 ①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应； ②了解构成函数的三要素； ③理解函数概念的本质； ④理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系； ⑤会求一些简单函数的定义域。 2、过程与方法（方面） 在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。 3、情感、态度与价值观（方面） 让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。 三、课堂结构设计 为充分调动学生的学*积极性，变被动学*为主动愉快的探究，我使用有效教学的课堂模式，课前学生通过结构化预*，完成问题生成单，课中采用师生互动、小组讨论、学生展写、展讲例题，教师点评的方式完成问题解决单，课后完成问题拓展单，课堂结构包含： 复*旧知，引出课题（约2分钟）创设情境，形成概念（约5分钟）剖析概念（约12分钟）例题分析，巩固知识——小组讨论，展写例题（约8分钟）小组展讲，教师点评（约10分钟）总结反思，知识升华（约2分钟）（最后）布置作业，拓展练*。 四、教学媒体设计 教学中利用投影与黑板相结合的形式，利用投影直观、生动地展示实例，并能增加课堂容量；利用黑板列举本节重要内容，使学生对所学内容有一整体认识，并让学生利用黑板展写、展讲例题，有问题及时发现及时解决。 五、教学过程设计 本节课围绕问题的解决与重难点的突破，设计了下面的教学过程。 整个教学过程按四个环节展开： 首先，在第一环节——复*旧知，引出课题，先由两个问题导入新课 ①初中时函数是如何定义的？ ②y=1是函数吗？ [设计意图]：学生通过对这两个问题的思考与讨论，发现利用初中的定义很难回答第②个问题，从而激起他们的好奇心：高中阶段的函数概念会是什么？激发他们学*本节课的强烈愿望和情感，使他们处于积极主动的探究状态，大大提高了课堂效率。 从学生的心理状态与认知规律出发，教学过程自然过渡到第二个环节——函数概念的形成。 由于高中阶段的函数概念本身比较抽象，看不见也摸不着，不易直接给出，因此在本环节中，我主要通过学生能看见能感知的生活中的3个实例出发，由具体到抽象，由特殊到一般，一步步归纳形成函数的概念，此过程我称之为“创设情境，形成概念”。 对于这3个实例，我分别预设一个问题让学生思考与体会。 问题1：从炮弹发射到落地的0-26s时间内，集合A是否存在某一时间t，在B中没有高度h与之对应？是否有两个或多个高度与之相对应？ 问题2：从1979—20xx年，集合A是否存在某一时间t，在B中没有面积S与之对应？是否有两个或多个面积与它相对应吗？ 问题3：从1991—20xx年间，集合A中是否存在某一时间t，在B中没恩格尔系数与之对应？是否会有两个或多个恩格尔系数与对应？ [设计意图]：通过循序渐进地提问，变教为诱，以诱达思，引导学生根据问题总结3个实例的各自特点，并综合各自特点，归纳它们的公共特征，着重向学生渗透集合与对应的观点，这样，再让学生经历由具体到抽象的概括过程，用集合、对应的语言来描述函数时就显得水到渠成，难点得以突破。 函数的概念既已形成，本节课自然进入了第3个环节——剖析概念，理解概念。 函数概念的理解是本节课的重点也是难点，概念本身比较抽象，学生在理解上可能把握不准确，所以我分两个步骤来进行剖析，由具体到抽象，螺旋上升。 首先，在学生熟读熟背函数概念的基础上，我设计一个学生活动，让学生充分参与，在参与中体会学*的`快乐。 我利用多媒体制作一个表格，请学号为01—05的同学填写自己上次的数学考试成绩，并提出3个问题： 问题1：若学号构成集合A，成绩构成集合B，对应关系f：上次数学考试成绩，那么由A到B能否构成函数？ 问题2：若将问题1中“学号”改为“01—05的学生”，其余不变，那么由A到B能否构成函数？ 问题3：若学号04的学生上次考试因病缺考，无成绩，那么对问题1学号与成绩能否构成函数？ [设计意图]：通过层层提问，层层回答，让学生对概念中关键词的把握更为准确，对函数概念的理解更为具体，为总结归纳函数概念的本质特征打下基础。 其次，我通过幻灯片的形式展示几组数集的对应关系，让学生分析讨论哪些对应关系能构成函数，在学生深刻认识到函数是非空数集到非空数集的一对一或多对一的对应关系，并能准确把握概念中的关键词后，再着重强强在这两种对应关系中，何为定义域，何为值域，值域和集合B有什么关系，强调函数的三要素，得出两函数相等的条件。 至此，本节课的第三个环节已经完成，对于区间的概念，学生通过预*能够理解课堂上不再多讲，仅在多媒体上进行展示，但会在后面例题的使用中指出注意事项。 在本节课的第四个环节——例题分析中，我重点以例题的形式考查函数的有关概念问题，简单函数的定义域问题以及函数的求值问题，至于分段函数、复合函数的求值及定义域问题，将在下节课予以解决，本环节主要通过学生讨论、展写、展讲、学生互评、教师点评的方式完成知识的巩固，让学生成为课堂的主人。 最后，通过 ——总结点评，完善知识体系 ——课堂练*，巩固知识掌握 ——布置作业，沉淀教学成果 六、教学评价设计 教学是动态生成的过程，课堂上必然会有难以预料的事情发生，具体的教学过程还应根据实际情况加以调整。 最后，引用赫尔巴特的一句名言结束我的说课，那就是“发挥我们教师的创造性，使教育过程成为一种艺术的事业，使我们不聪明的孩子变的聪明，使我们聪明的孩子变的更聪明”。 谢谢大家！ 一、说课内容： 苏教版九年级数学下册第六章第一节的二次函数的概念及相关*题 二、教材分析： 1、教材的地位和作用 这节课是在学生已经学*了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学*二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学*二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学*二次函数的基础，是为后来学*二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求： （1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 （2）过程与方法：复*旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力． （3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程 四、教学过程： （一）复*提问 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？ （一次函数，正比例函数，反比例函数） 2．它们的形式是怎样的? (=x+b，≠0；=x ,≠0；= , ≠0) 3．一次函数(=x+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有≠0的条件？ 值对函数性质有什么影响？ 【设计意图】复*这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较． （二）引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示） 例1、(1)圆的半径是r(c)时，面积s (c)与半径之间的关系是什么? 解：s=πr（r>0） 例2、用周长为20的篱笆围成矩形场地，场地面积()与矩形一边长x()之间的关系是什么？ 解： =x(20/2-x)=x(10-x)=-x+10x (0 例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 解： =100(1+x) =100（x＋2x+1） = 100x+200x+100(0 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？ 【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。 （三）讲解新课 以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。 二次函数的定义：形如=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解： 1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。 2、在 =ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0） 3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ？ (若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 4、在例3中，二次函数=100x2＋200x＋100中， a=100， b=200， c=100． 5、b和c是否可以为零？ 由例1可知，b和c均可为零． 若b=0，则=ax2＋c； 若c=0，则=ax2＋bx； 若b=c=0，则=ax2． 注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而=ax2+bx+c是二次函数的一般形式． 【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。 判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c． (1)=3(x-1)+1 (2) (3)s=3-2t (4)=(x+3)- x (5) s=10πr (6) =2+2x (8)=x4＋2x2＋1（可指出是关于x2的二次函数) 【设计意图】理论学*完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。 （四）巩固练* 1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10c。 （1）当它的一条直角边的长为4.5c时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的面积为Sc2,其中一条直角边为xc，求S关 于x的函数关系式。 【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学*的难度。 2.已知正方体的棱长为xc,它的表面积为Sc2,体积为Vc3。 （1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子； （2）这两个函数中，那个是x的二次函数？ 【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练*，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学*数学的兴趣，建立学好数学的信心。 3.设圆柱的高为h(c)是常量，底面半径为rc，底面周长为Cc，圆柱的体积为Vc3 （1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式； （2）两个函数中，都是二次函数吗？ 【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复*，并与今天所学知识联系起来。 4. 篱笆墙长30，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积(2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。 （五）拓展延伸 1. 已知二次函数=ax2＋bx＋c，当 x=0时，=0；x=1时，=2；x= -1时，=1．求a、b、c，并写出函数解析式． 【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。 2.确定下列函数中的值 (1)如果函数= x^2-3+2 +x+1是二次函数,则的值一定是______ (2)如果函数=(-3)x^2-3+2+x+1是二次函数,则的值一定是______ 【设计意图】此题着重复*二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0. （六） 小结思考： 本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好*惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。 （七） 作业布置： 必做题： 1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加，求关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？ 2. 在长20c，宽15c的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xc的正方形，写出余下木板的面积(c2)与正方形边长x(c)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。 选做题： 1.已知函数 是二次函数，求的值。 2.试在*面直角坐标系画出二次函数=x2和=-x2图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学*二次函数图象的兴趣。 五、教学设计思考 以实现教学目标为前提 以现代教育理论为依据 以现代信息技术为手段 贯穿一个原则——以学生为主体的原则 突出一个特色——充分鼓励表扬的特色 渗透一个意识——应用数学的意识 一、说课内容： 苏教版九年级数学下册第六章第一节的二次函数的概念及相关*题 二、教材分析： 1、教材的地位和作用 这节课是在学生已经学*了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学*二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学*二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学*二次函数的基础，是为后来学*二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求： （1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 （2）过程与方法：复*旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力． （3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程 四、教学过程： （一）复*提问 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？ （一次函数，正比例函数，反比例函数） 2．它们的形式是怎样的? (=x+b，≠0；=x ,≠0；= , ≠0) 3．一次函数(=x+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有≠0的条件？ 值对函数性质有什么影响？ 【设计意图】复*这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较． （二）引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示） 例1、(1)圆的半径是r(c)时，面积s (c)与半径之间的关系是什么? 解：s=πr（r>0） 例2、用周长为20的篱笆围成矩形场地，场地面积()与矩形一边长x()之间的关系是什么？ 解： =x(20/2-x)=x(10-x)=-x+10x (0 例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 解： =100(1+x) =100（x＋2x+1） = 100x+200x+100(0 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？ 【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。 （三）讲解新课 以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。 二次函数的定义：形如=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解： 1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。 2、在 =ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0） 3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ？ (若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 4、在例3中，二次函数=100x2＋200x＋100中， a=100， b=200， c=100． 5、b和c是否可以为零？ 由例1可知，b和c均可为零． 若b=0，则=ax2＋c； 若c=0，则=ax2＋bx； 若b=c=0，则=ax2． 注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而=ax2+bx+c是二次函数的一般形式． 【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。 判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c． (1)=3(x-1)+1 (2) (3)s=3-2t (4)=(x+3)- x (5) s=10πr (6) =2+2x (8)=x4＋2x2＋1（可指出是关于x2的二次函数) 【设计意图】理论学*完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。 （四）巩固练* 1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10c。 （1）当它的一条直角边的长为4.5c时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的面积为Sc2,其中一条直角边为xc，求S关 于x的函数关系式。 【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学*的难度。 2.已知正方体的棱长为xc,它的表面积为Sc2,体积为Vc3。 （1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子； （2）这两个函数中，那个是x的二次函数？ 【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练*，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学*数学的兴趣，建立学好数学的信心。 3.设圆柱的高为h(c)是常量，底面半径为rc，底面周长为Cc，圆柱的体积为Vc3 （1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式； （2）两个函数中，都是二次函数吗？ 【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复*，并与今天所学知识联系起来。 4. 篱笆墙长30，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积(2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。 （五）拓展延伸 1. 已知二次函数=ax2＋bx＋c，当 x=0时，=0；x=1时，=2；x= -1时，=1．求a、b、c，并写出函数解析式． 【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。 2.确定下列函数中的值 (1)如果函数= x^2-3+2 +x+1是二次函数,则的值一定是______ (2)如果函数=(-3)x^2-3+2+x+1是二次函数,则的值一定是______ 【设计意图】此题着重复*二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0. （六） 小结思考： 本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好*惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。 （七） 作业布置： 必做题： 1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加，求关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？ 2. 在长20c，宽15c的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xc的正方形，写出余下木板的面积(c2)与正方形边长x(c)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。 选做题： 1.已知函数 是二次函数，求的值。 2.试在*面直角坐标系画出二次函数=x2和=-x2图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学*二次函数图象的兴趣。 五、教学设计思考 以实现教学目标为前提 以现代教育理论为依据 以现代信息技术为手段 贯穿一个原则――以学生为主体的原则 突出一个特色――充分鼓励表扬的特色 渗透一个意识――应用数学的意识 一、说课内容： 苏教版九年级数学下册第六章第一节的二次函数的概念及相关*题 二、教材分析： 1、教材的地位和作用 这节课是在学生已经学*了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学*二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学*二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学*二次函数的基础，是为后来学*二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求： （1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 （2）过程与方法：复*旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力． （3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程 四、教学过程： （一）复*提问 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？ （一次函数，正比例函数，反比例函数） 2．它们的形式是怎样的? (=x+b，≠0；=x ,≠0；= , ≠0) 3．一次函数(=x+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有≠0的条件？ 值对函数性质有什么影响？ 【设计意图】复*这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较． （二）引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示） 例1、(1)圆的.半径是r(c)时，面积s (c)与半径之间的关系是什么? 解：s=πr（r>0） 例2、用周长为20的篱笆围成矩形场地，场地面积()与矩形一边长x()之间的关系是什么？ 解： =x(20/2-x)=x(10-x)=-x+10x (0 例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 解： =100(1+x) =100（x＋2x+1） = 100x+200x+100(0 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？ 【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。 （三）讲解新课 以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。 二次函数的定义：形如=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解： 1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。 2、在 =ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0） 3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ？ (若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 4、在例3中，二次函数=100x2＋200x＋100中， a=100， b=200， c=100． 5、b和c是否可以为零？ 由例1可知，b和c均可为零． 若b=0，则=ax2＋c； 若c=0，则=ax2＋bx； 若b=c=0，则=ax2． 注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而=ax2+bx+c是二次函数的一般形式． 【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。 判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c． (1)=3(x-1)+1 (2) (3)s=3-2t (4)=(x+3)- x (5) s=10πr (6) =2+2x (8)=x4＋2x2＋1（可指出是关于x2的二次函数) 【设计意图】理论学*完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。 （四）巩固练* 1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10c。 （1）当它的一条直角边的长为4.5c时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的面积为Sc2,其中一条直角边为xc，求S关 于x的函数关系式。 【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学*的难度。 2.已知正方体的棱长为xc,它的表面积为Sc2,体积为Vc3。 （1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子； （2）这两个函数中，那个是x的二次函数？ 【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练*，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学*数学的兴趣，建立学好数学的信心。 3.设圆柱的高为h(c)是常量，底面半径为rc，底面周长为Cc，圆柱的体积为Vc3 （1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式； （2）两个函数中，都是二次函数吗？ 【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复*，并与今天所学知识联系起来。 4. 篱笆墙长30，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积(2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。 （五）拓展延伸 1. 已知二次函数=ax2＋bx＋c，当 x=0时，=0；x=1时，=2；x= -1时，=1．求a、b、c，并写出函数解析式． 【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。 2.确定下列函数中的值 (1)如果函数= x^2-3+2 +x+1是二次函数,则的值一定是______ (2)如果函数=(-3)x^2-3+2+x+1是二次函数,则的值一定是______ 【设计意图】此题着重复*二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0. （六） 小结思考： 本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好*惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。 （七） 作业布置： 必做题： 1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加，求关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？ 2. 在长20c，宽15c的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xc的正方形，写出余下木板的面积(c2)与正方形边长x(c)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。 选做题： 1.已知函数 是二次函数，求的值。 2.试在*面直角坐标系画出二次函数=x2和=-x2图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学*二次函数图象的兴趣。 五、教学设计思考 以实现教学目标为前提 以现代教育理论为依据 以现代信息技术为手段 贯穿一个原则——以学生为主体的原则 突出一个特色——充分鼓励表扬的特色 渗透一个意识——应用数学的意识 ——《函数概念》说课稿优选【5】份 尊敬的各位评委、老师们： 大家好！ 今天我说课的内容是《函数的概念》，选自人教版高中数学必修一第一章第二节。下面介绍我对本节课的设计和构思，请您多提宝贵意见。 我的说课有以下六个部分： 一、背景分析 1、学*任务分析 本节课是必修1第1章第2节的内容，是函数这一章的起始课，它上承集合，下引性质，与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容联系密切，是学好后继知识的基础和工具，所以本节课在数学教学中的地位和作用是至关重要的。 2、学情分析 学生在初中已经学*了函数的概念，初步具备了学*函数概念的基本能力，但函数的概念从初中的变量学说到高中阶段的对应说很抽象，不易理解。 另外，通过对集合的学*，学生基本适应了有效教学的课堂模式，初步具备了小组合作、自主探究的学*能力。 基于以上的分析，我认为本节课的教学重点为：函数的概念以及构成函数的三要素； 教学难点为：函数概念的形成及理解。 二、教学目标设计 根据《课程标准》对本节课的学*要求，结合本班学生的情况，故而确立本节课的教学目标。 1、知识与技能（方面） 通过丰富的实例，让学生 ①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应； ②了解构成函数的三要素； ③理解函数概念的本质； ④理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系； ⑤会求一些简单函数的定义域。 2、过程与方法（方面） 在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。 3、情感、态度与价值观（方面） 让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。 三、课堂结构设计 为充分调动学生的学*积极性，变被动学*为主动愉快的探究，我使用有效教学的课堂模式，课前学生通过结构化预*，完成问题生成单，课中采用师生互动、小组讨论、学生展写、展讲例题，教师点评的方式完成问题解决单，课后完成问题拓展单，课堂结构包含： 复*旧知，引出课题（约2分钟）创设情境，形成概念（约5分钟）剖析概念（约12分钟）例题分析，巩固知识――小组讨论，展写例题（约8分钟）小组展讲，教师点评（约10分钟）总结反思，知识升华（约2分钟）（最后）布置作业，拓展练*。 四、教学媒体设计 教学中利用投影与黑板相结合的形式，利用投影直观、生动地展示实例，并能增加课堂容量；利用黑板列举本节重要内容，使学生对所学内容有一整体认识，并让学生利用黑板展写、展讲例题，有问题及时发现及时解决。 五、教学过程设计 本节课围绕问题的解决与重难点的突破，设计了下面的教学过程。 整个教学过程按四个环节展开： 首先，在第一环节――复*旧知，引出课题，先由两个问题导入新课 ①初中时函数是如何定义的？ ②y=1是函数吗？ [设计意图]：学生通过对这两个问题的思考与讨论，发现利用初中的定义很难回答第②个问题，从而激起他们的好奇心：高中阶段的函数概念会是什么？激发他们学*本节课的强烈愿望和情感，使他们处于积极主动的探究状态，大大提高了课堂效率。 从学生的心理状态与认知规律出发，教学过程自然过渡到第二个环节――函数概念的形成。 由于高中阶段的函数概念本身比较抽象，看不见也摸不着，不易直接给出，因此在本环节中，我主要通过学生能看见能感知的生活中的3个实例出发，由具体到抽象，由特殊到一般，一步步归纳形成函数的概念，此过程我称之为“创设情境，形成概念”。 对于这3个实例，我分别预设一个问题让学生思考与体会。 问题1：从炮弹发射到落地的0-26s时间内，集合A是否存在某一时间t，在B中没有高度h与之对应？是否有两个或多个高度与之相对应？ 问题2：从1979―20xx年，集合A是否存在某一时间t，在B中没有面积S与之对应？是否有两个或多个面积与它相对应吗？ 问题3：从1991―20xx年间，集合A中是否存在某一时间t，在B中没恩格尔系数与之对应？是否会有两个或多个恩格尔系数与对应？ [设计意图]：通过循序渐进地提问，变教为诱，以诱达思，引导学生根据问题总结3个实例的各自特点，并综合各自特点，归纳它们的公共特征，着重向学生渗透集合与对应的观点，这样，再让学生经历由具体到抽象的概括过程，用集合、对应的语言来描述函数时就显得水到渠成，难点得以突破。 函数的概念既已形成，本节课自然进入了第3个环节――剖析概念，理解概念。 函数概念的理解是本节课的重点也是难点，概念本身比较抽象，学生在理解上可能把握不准确，所以我分两个步骤来进行剖析，由具体到抽象，螺旋上升。 首先，在学生熟读熟背函数概念的基础上，我设计一个学生活动，让学生充分参与，在参与中体会学*的快乐。 我利用多媒体制作一个表格，请学号为01―05的同学填写自己上次的数学考试成绩，并提出3个问题： 问题1：若学号构成集合A，成绩构成集合B，对应关系f：上次数学考试成绩，那么由A到B能否构成函数？ 问题2：若将问题1中“学号”改为“01―05的学生”，其余不变，那么由A到B能否构成函数？ 问题3：若学号04的学生上次考试因病缺考，无成绩，那么对问题1学号与成绩能否构成函数？ [设计意图]：通过层层提问，层层回答，让学生对概念中关键词的把握更为准确，对函数概念的理解更为具体，为总结归纳函数概念的本质特征打下基础。 其次，我通过幻灯片的形式展示几组数集的对应关系，让学生分析讨论哪些对应关系能构成函数，在学生深刻认识到函数是非空数集到非空数集的一对一或多对一的对应关系，并能准确把握概念中的关键词后，再着重强强在这两种对应关系中，何为定义域，何为值域，值域和集合B有什么关系，强调函数的三要素，得出两函数相等的条件。 至此，本节课的第三个环节已经完成，对于区间的概念，学生通过预*能够理解课堂上不再多讲，仅在多媒体上进行展示，但会在后面例题的使用中指出注意事项。 在本节课的第四个环节――例题分析中，我重点以例题的形式考查函数的有关概念问题，简单函数的定义域问题以及函数的求值问题，至于分段函数、复合函数的求值及定义域问题，将在下节课予以解决，本环节主要通过学生讨论、展写、展讲、学生互评、教师点评的方式完成知识的巩固，让学生成为课堂的主人。 最后，通过 ――总结点评，完善知识体系 ――课堂练*，巩固知识掌握 ――布置作业，沉淀教学成果 六、教学评价设计 教学是动态生成的过程，课堂上必然会有难以预料的事情发生，具体的教学过程还应根据实际情况加以调整。 最后，引用赫尔巴特的一句名言结束我的说课，那就是“发挥我们教师的创造性，使教育过程成为一种艺术的事业，使我们不聪明的孩子变的聪明，使我们聪明的孩子变的更聪明”。 谢谢大家！ 一、说课内容： 苏教版九年级数学下册第六章第一节的二次函数的概念及相关*题 二、教材分析： 1、教材的地位和作用 这节课是在学生已经学*了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学*二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学*二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学*二次函数的基础，是为后来学*二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求： （1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 （2）过程与方法：复*旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力． （3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程 四、教学过程： （一）复*提问 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？ （一次函数，正比例函数，反比例函数） 2．它们的形式是怎样的? (=x+b，≠0；=x ,≠0；= , ≠0) 3．一次函数(=x+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有≠0的条件？ 值对函数性质有什么影响？ 【设计意图】复*这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较． （二）引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示） 例1、(1)圆的半径是r(c)时，面积s (c)与半径之间的关系是什么? 解：s=πr（r>0） 例2、用周长为20的篱笆围成矩形场地，场地面积()与矩形一边长x()之间的关系是什么？ 解： =x(20/2-x)=x(10-x)=-x+10x (0 例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 解： =100(1+x) =100（x＋2x+1） = 100x+200x+100(0 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？ 【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。 （三）讲解新课 以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。 二次函数的定义：形如=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解： 1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。 2、在 =ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0） 3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ？ (若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 4、在例3中，二次函数=100x2＋200x＋100中， a=100， b=200， c=100． 5、b和c是否可以为零？ 由例1可知，b和c均可为零． 若b=0，则=ax2＋c； 若c=0，则=ax2＋bx； 若b=c=0，则=ax2． 注明：以上三种形式都是二次函数的'特殊形式，而=ax2+bx+c是二次函数的一般形式． 【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。 判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c． (1)=3(x-1)+1 (2) (3)s=3-2t (4)=(x+3)- x (5) s=10πr (6) =2+2x (8)=x4＋2x2＋1（可指出是关于x2的二次函数) 【设计意图】理论学*完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。 （四）巩固练* 1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10c。 （1）当它的一条直角边的长为4.5c时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的面积为Sc2,其中一条直角边为xc，求S关 于x的函数关系式。 【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学*的难度。 2.已知正方体的棱长为xc,它的表面积为Sc2,体积为Vc3。 （1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子； （2）这两个函数中，那个是x的二次函数？ 【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练*，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学*数学的兴趣，建立学好数学的信心。 3.设圆柱的高为h(c)是常量，底面半径为rc，底面周长为Cc，圆柱的体积为Vc3 （1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式； （2）两个函数中，都是二次函数吗？ 【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复*，并与今天所学知识联系起来。 4. 篱笆墙长30，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积(2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。 （五）拓展延伸 1. 已知二次函数=ax2＋bx＋c，当 x=0时，=0；x=1时，=2；x= -1时，=1．求a、b、c，并写出函数解析式． 【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。 2.确定下列函数中的值 (1)如果函数= x^2-3+2 +x+1是二次函数,则的值一定是______ (2)如果函数=(-3)x^2-3+2+x+1是二次函数,则的值一定是______ 【设计意图】此题着重复*二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0. （六） 小结思考： 本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好*惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。 （七） 作业布置： 必做题： 1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加，求关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？ 2. 在长20c，宽15c的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xc的正方形，写出余下木板的面积(c2)与正方形边长x(c)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。 选做题： 1.已知函数 是二次函数，求的值。 2.试在*面直角坐标系画出二次函数=x2和=-x2图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学*二次函数图象的兴趣。 五、教学设计思考 以实现教学目标为前提 以现代教育理论为依据 以现代信息技术为手段 贯穿一个原则――以学生为主体的原则 突出一个特色――充分鼓励表扬的特色 渗透一个意识――应用数学的意识 一、说课内容： 苏教版九年级数学下册第六章第一节的二次函数的概念及相关*题 二、教材分析： 1、教材的地位和作用 这节课是在学生已经学*了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学*二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学*二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学*二次函数的基础，是为后来学*二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求： （1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 （2）过程与方法：复*旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力． （3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程 四、教学过程： （一）复*提问 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？ （一次函数，正比例函数，反比例函数） 2．它们的形式是怎样的? (=x+b，≠0；=x ,≠0；= , ≠0) 3．一次函数(=x+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有≠0的条件？ 值对函数性质有什么影响？ 【设计意图】复*这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较． （二）引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示） 例1、(1)圆的半径是r(c)时，面积s (c)与半径之间的关系是什么? 解：s=πr（r>0） 例2、用周长为20的篱笆围成矩形场地，场地面积()与矩形一边长x()之间的关系是什么？ 解： =x(20/2-x)=x(10-x)=-x+10x (0 例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 解： =100(1+x) =100（x＋2x+1） = 100x+200x+100(0 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？ 【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。 （三）讲解新课 以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。 二次函数的定义：形如=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解： 1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式）。 2、在 =ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0） 3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ？ (若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 4、在例3中，二次函数=100x2＋200x＋100中， a=100， b=200， c=100． 5、b和c是否可以为零？ 由例1可知，b和c均可为零． 若b=0，则=ax2＋c； 若c=0，则=ax2＋bx； 若b=c=0，则=ax2． 注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而=ax2+bx+c是二次函数的一般形式． 【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。 判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c． (1)=3(x-1)+1 (2) (3)s=3-2t (4)=(x+3)- x (5) s=10πr (6) =2+2x (8)=x4＋2x2＋1（可指出是关于x2的二次函数) 【设计意图】理论学*完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。 （四）巩固练* 1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10c。 （1）当它的一条直角边的长为4.5c时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的面积为Sc2,其中一条直角边为xc，求S关 于x的函数关系式。 【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学*的难度。 2.已知正方体的棱长为xc,它的表面积为Sc2,体积为Vc3。 （1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子； （2）这两个函数中，那个是x的二次函数？ 【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练*，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学*数学的兴趣，建立学好数学的信心。 3.设圆柱的高为h(c)是常量，底面半径为rc，底面周长为Cc，圆柱的体积为Vc3 （1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式； （2）两个函数中，都是二次函数吗？ 【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复*，并与今天所学知识联系起来。 4. 篱笆墙长30，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积(2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。 （五）拓展延伸 1. 已知二次函数=ax2＋bx＋c，当 x=0时，=0；x=1时，=2；x= -1时，=1．求a、b、c，并写出函数解析式． 【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。 2.确定下列函数中的值 (1)如果函数= x^2-3+2 +x+1是二次函数,则的值一定是______ (2)如果函数=(-3)x^2-3+2+x+1是二次函数,则的值一定是______ 【设计意图】此题着重复*二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0. （六） 小结思考： 本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好*惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。 （七） 作业布置： 必做题： 1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加，求关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？ 2. 在长20c，宽15c的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xc的正方形，写出余下木板的面积(c2)与正方形边长x(c)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。 选做题： 1.已知函数 是二次函数，求的值。 2.试在*面直角坐标系画出二次函数=x2和=-x2图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学*二次函数图象的兴趣。 五、教学设计思考 以实现教学目标为前提 以现代教育理论为依据 以现代信息技术为手段 贯穿一个原则——以学生为主体的原则 突出一个特色——充分鼓励表扬的特色 渗透一个意识——应用数学的意识 一、说课内容： 人教版九年级数学下册的二次函数的概念及相关*题 二、教材分析： 1、教材的地位和作用 这节课是在学生已经学*了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学*二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学*二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解数形结合的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学*二次函数的基础，是为后来学*二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求： (1)知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 (2)过程与方法：复*旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力. (3)情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心. 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程 四、教学过程： (一)复*提问 1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数? (一次函数，正比例函数，反比例函数) 2.它们的形式是怎样的? (y=kx+b，ky=kx ,ky= , k0) 3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k0的条件? k值对函数性质有什么影响? 【设计意图】复*这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较. (二)引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。(电脑演示) 例1、(1)圆的半径是r(cm)时，面积s (cm2)与半径之间的关系是什么? 解：s=0) 例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么? 解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x2+10x (0 例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y(元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 解： y=100(1+x)2 =100(x2+2x+1) = 100x2+200x+100(0 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点? 【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。 (三)讲解新课 以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解： 1、强调形如，即由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式)。 2、在 y=ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。(如例1中要求r0) 3、为什么二次函数定义中要求a? (若a=0，ax2+bx+c就不是关于x的二次多项式了) 4、在例3中，二次函数y=100x2+200x+100中， a=100， b=200， c=100. 5、b和c是否可以为零? 由例1可知，b和c均可为零. 若b=0，则y=ax2+c; 若c=0，则y=ax2+bx; 若b=c=0，则y=ax2. 注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式. 【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。 判断：下列函数中哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数，指出a、b、c. (1)y=3(x-1)2+1 (2) (3)s=3-2t2 (4)y=(x+3)2- x2 (5) s=10r2 (6) y=22+2x (8)y=x4+2x2+1(可指出y是关于x2的二次函数) 【设计意图】理论学*完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。 (四)巩固练* 1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。 (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积; (2)设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关 于x的函数关系式。 【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学*的难度。 2.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为Scm2,体积为Vcm3。 (1)分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子; (2)这两个函数中，那个是x的二次函数? 【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练*，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学*数学的兴趣，建立学好数学的信心。 3.设圆柱的高为h(cm)是常量，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3 (1)分别写出C关于r;V关于r的函数关系式; (2)两个函数中，都是二次函数吗? 【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复*，并与今天所学知识联系起来。 4. 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. 【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够跳一跳，够得到。 (五)拓展延伸 1. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当 x=0时，y=0;x=1时，y=2;x= -1时，y=1.求a、b、c，并写出函数解析式. 【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。 2.确定下列函数中k的值 (1)如果函数y= xk^2-3k+2 +kx+1是二次函数,则k的值一定是______ (2)如果函数y=(k-3)xk^2-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值一定是______ 【设计意图】此题着重复*二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0. (六) 小结思考： 本节课你有哪些收获?还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好*惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。 (七) 作业布置： 必做题： 1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗? 2. 在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。 选做题： 1.已知函数 是二次函数，求m的值。 2.试在*面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学*二次函数图象的兴趣。 五、教学设计思考 以实现教学目标为前提 以现代教育理论为依据 以现代信息技术为手段 贯穿一个原则以学生为主体的原则 突出一个特色充分鼓励表扬的特色 渗透一个意识应用数学的意识 一、本课时在教材中的地位及作用 教材采用北师大版（数学）必修1，函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中。本章节9个课时，函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。这一章内容渗透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学*，无疑对学生今后的学*起着深刻的影响。 本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。也为进一步学*函数这一章的其它内容提供了方法和依据 二、教学目标 理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的函数的定义域、值域。 通过对实际问题分析、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。 通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质。 三、重难点分析确定 根据上述对教材的分析及新课程标准的要求，确定函数的概念既是本节课的重点，也应该是本章的难点。 四、教学基本思路及过程 本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课（借助小黑板）从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用，也为进一步学*函数这一章的其它内容提供了方法和依据。 ⑴学情分析 一方面学生在初中已经学*了变量观点下的函数定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数已经有了一定的感性认识；另一方面在本书第一章学生已经学*了集合的概念，这为学*函数的现代定义打下了基础。 函数在初中虽已讲过，不过较为肤浅，本课主要是从两个集合间对应来描绘函数概念，是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高，学生学起来有一定的难度，加上学生数学基础较差，理解能力，运算能力等参差不齐等。 ⑵教法、学法 1、本节课采用的方法有： 直观教学法、启发教学法、课堂讨论法。 2、采用这些方法的理论依据：我一方面精心设计问题情景，引导学生主动探索，另一方面，依据本节为概念学*的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学*过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，充分体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 3、学法方面，学生通过对新旧两种函数定义的对比，在集合论的观点下初步建构出函数的概念。在理解函数概念的基础上，建构出函数的定义域、值域的概念，并初步掌握它们的求法。 ⑶教学过程 （一）创设情景，引入新课 情景1：提供一张表格，把本班中考得分前10名的情况填入表格， 我报名次，学生提供分数。 情景2：西康高速汽车的行驶速度为80千米/小时，汽车行驶的距离 y与行驶时间x之间的关系式为：y=80x 情景3：安康市一天24小时内的气温随时间变化图：（图略） 提问（1）：这三个例子中都涉及到了几个变化的量？（两个） 提问（2）：当其中一个变量取值确定后，另一个变量将如何？（它的 值也随之唯一确定） 提问（3）：这样的关系在初中称之为什么？（函数）引出课题 [设计意图]在创设本课开头情境1、2的时候，我并没有运用书中的前两个例子。第一个例子我改成提供给学生一张中考成绩统计单。是为了创设和学生生活相*的情境，从而引起学生的兴趣，调节课堂气氛，引人入胜，第二个例子我改成一道简单的速度与时间问题，是因为学生对重力加速度的问题还不是很熟悉。同时这两个例子并没有改变课本用三个实例分别代表三种表示函数方法的意图。 这样学生可以从熟悉的情景引入，提高学生的参与程度。符合学生的认知特点。 （二）探索新知，形成概念 1、引导分析，探求特征 思考：如何用集合的语言来阐述上述三个问题的共同特征？ [设计意图]并不急着让学生回答此问，为引导学生改变思路，换个角度思考问题，进入本节课的重点。这里也是教师作为教学的引导者的体现，及时对学生进行指引。 提问（4）：观察上述三问题，它们分别涉及到了哪些集合？（每个问题都涉及到了两个集合，具体略） [设计意图]引导学生观察，培养观察问题，分析问题的能力。 提问（5）：两个集合的元素之间具有怎样的关系？（对应） 及时给出单值对应的定义，并尝试用输入值，输出值的概念来表达这种对应。 2、抽象归纳，引出概念 提问（6）：现在你能从集合角度说说这三个问题的共同点吗？ [设计意图]学生相互讨论，并回答，引出函数的概念。训练学生的归纳能力。 板书：函数的概念 上述一系列问题，始终倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中，在学生心情愉悦的氛围中，突破本节课的重点。 3、探求定义，提出注意 提问（7）：你觉得这个定义中应注意哪些问题（两个非空数集，唯一对应等）？ [设计意图]剖析概念，使学生抓住概念的本质，便于理解记忆。 2、例题剖析，强化概念 例1、判断下列对应是否为函数： （1） （2） [设计意图]通过例1的教学，使学生体会单值对应关系在刻画函数概念中的核心作用。 例2、（1）； （2）y=x—1； （3）； （4） [设计意图]首先对求函数的定义域进行方法引导，偶次方根必需注意的地方，其次，通过（2）（3）两道题，强调只有对应法则与定义域相同的两个函数，才是相同的函数。而与函数用什么字母表示无关，进一步理解函数符号的'本质内涵。 例3、试求下列函数的定义域与值域： （1） （2） [设计意图]让学体会理解函数的三要素：定义域、值域、对应法则。 4、巩固练*，运用概念 书本练*P25：练*1，2，3。P28：练*1，2 布置作业：A组：1、2。B组1。 5、课堂小结，提升思想 引导学生进行回顾，使学生对本节课有一个整体把握，将对学生形成的知识系统产生积极的影响。 6、板书设计：借助小黑板，时间的合理分配等（略） 五、教学评价及反思 我通过对一系列问题情景的设计，让学生在问题解决的过程中体验成功的乐趣，实现对本课重难点的突破，教学时间分配合理，为使课堂形式更加丰富，也可将某些问题改成判断题。在学生分析、归纳、建构概念的过程中，可能会出现理解的偏差，教师应给予恰当的梳理。 本节课的起始，可以借助于多媒体技术，为学生创设更理想的教学情景（结合各学校的硬件条件）。函数数学教案8
函数数学教案9
《函数的概念》教案 (菁华3篇)（扩展3）
函数数学教案1
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函数数学教案4
函数数学教案5
《函数的概念》教案 (菁华3篇)（扩展4）
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函数概念教案2
函数概念教案3
函数概念教案4
函数概念教案5
《函数的概念》教案 (菁华3篇)（扩展5）
幂函数教案1
幂函数教案2
? 幂函数教案3
《函数的概念》教案 (菁华3篇)（扩展6）
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