函数概念教案(5)份

　　函数概念教案 1

　　教学目标

　　1、使学生掌握的概念，图象和性质。

　　（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。

　　（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。

　　（3）x能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如x的图象。

　　2、x通过对的概念图象性质的学*，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　3、通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学*数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。

　　教学建议

　　教材分析

　　（1）x是在学生系统学*了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学*对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。

　　（2）x本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数x在x和x时，函数值变化情况的区分。

　　（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。

　　教法建议

　　（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是x的样子，不能有一点差异，诸如x，x等都不是。

　　（2）对底数x的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学*对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。

　　关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。

　　教学设计示例

　　课题

　　教学目标

　　1、x理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。

　　2、x通过的图象和性质的学*，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　3、x通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学*兴趣。

　　教学重点和难点

　　重点是理解的定义，把握图象和性质。

　　难点是认识底数对函数值影响的认识。

　　教学用具

　　投影仪

　　教学方法

　　启发讨论研究式

　　教学过程

　　一、x引入新课

　　我们前面学*了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数。

　　1、6、（板书）

　　这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：

　　问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数x与x之间，构成一个函数关系，能写出x与x之间的函数关系式吗？

　　由学生回答：x与x之间的关系式，可以表示为x。

　　问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为x米，试写出x与x之间的函数关系。

　　由学生回答：x。

　　在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。

　　x的概念（板书）

　　1、定义：形如x的函数称为。（板书）

　　教师在给出定义之后再对定义作几点说明。

　　2、几点说明x（板书）

　　（1）x关于对x的规定：

　　教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若x会有什么问题？如x，此时x，x等在实数范围内相应的函数值不存在。

　　若x对于x都无意义，若x则x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定x且x。

　　（2）关于的定义域x（板书）

　　教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时，x也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的"性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为x。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。

　　（3）关于是否是的判断（板书）

　　刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。

　　（4）x，x

　　（5）x。

　　学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3）x可以写成x，也是指数图象。

　　最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。

　　3、归纳性质

　　作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。

　　函数

　　1、定义域x：

　　2、值域：

　　3、奇偶性x：既不是奇函数也不是偶函数

　　4、截距：在x轴上没有，在x轴上为1。

　　对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于x轴上方，且与x轴不相交。）

　　在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故x的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。

　　此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当x越小，图象越靠*x轴，x越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。

　　二、图象与性质（板书）

　　1、图象的画法：性质指导下的列表描点法。

　　2、草图：

　　当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且x，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取x为例。

　　此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单。即x=x与x图象之间关于x轴对称，而此时x的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到x的图象。

　　最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如x的图象一起比较，再找共性）

　　由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下：

　　以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。

　　填好后，让学生仿照此例再列一个x的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。

　　3、性质。

　　（1）无论x为何值，x都有定义域为x，值域为x，都过点x。

　　（2）x时，x在定义域内为增函数，x时，x为减函数。

　　（3）x时，x，x x时，x。

　　总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。

　　三、简单应用x （板书）

　　1、利用单调性比大小。x（板书）

　　一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。

　　例1、x比较下列各组数的大小

　　（1）x与x;x（2）x与x;

　　（3）x与1x。（板书）

　　首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。

　　解：x在x上是增函数，且

　　教师最后再强调过程必须写清三句话：

　　（1）x构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。

　　（2）x自变量的大小比较。

　　（3）x函数值的大小比较。

　　后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。

　　例2。比较下列各组数的大小

　　（1）x与x;x（2）x与x ;

　　（3）x与x。（板书）

　　先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说x可以写成x，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说x可以写成x，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）

　　最后由学生说出x>1，<1。

　　解决后由教师小结比较大小的方法

　　（1）x构造函数的方法：x数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的）

　　（2）x搭桥比较法：x用特殊的数1或0。

　　四、巩固练*

　　练*：比较下列各组数的大小（板书）

　　（1）x与x x（2）x与x;

　　（3）x与x;x（4）x与x。解答过程略

　　五、小结

　　1、的概念

　　2、的图象和性质

　　3、简单应用

　　六、板书设计

　　函数概念教案 2

各位领导老师：

　　大家好！

　　今天我说课的内容是函数的*代定义也就是函数的第一课时内容。

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学*，所以函数的第一课时非常的重要。

　　2、教学目标及确立的依据：

　　教学目标：

　　（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的*代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

　　（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

　　（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

　　教学目标确立的依据：

　　函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

　　3、教学重点难点及确立的依据：

　　教学重点：映射的概念，函数的*代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

　　教学难点：映射的概念，函数*代概念，及函数符号的理解。

　　重点难点确立的依据：

　　映射的概念和函数的*代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以*年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的*代定义及函数符号的理解与运用上。

　　二、教材的处理：

　　将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学*热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

　　三、教学方法和学法

　　教学方法：讲授为主，学生自主预*为辅。

　　依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

　　学法：四、教学程序

　　一、课程导入

　　通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

　　例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

　　二.新课讲授：

　　（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：A→B，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

　　（2）巩固练*课本52页第八题。

　　此练*能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

　　例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的*代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

　　并把函数的*代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

　　再以让学生判断的方式给出以下关于函数*代定义的注意事项：

　　2.函数是非空数集到非空数集的映射。

　　3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

　　4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

　　5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。

　　6.“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。

　　三.讲解例题

　　例1.问y=1（x∈A）是不是函数？

　　解：y=1可以化为y=0+1

　　画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

　　[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的'定义。

　　四.课时小结：

　　1.映射的定义。

　　2.函数的*代定义。

　　3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

　　4.函数*代定义的五大注意点。

　　五.课后作业及板书设计

　　书本P51*题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

　　预*函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

　　函数概念教案 3

　　一、教材分析

　　本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1 函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

　　托马斯说：“函数概念是*代数学思想之花”。 生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。

　　函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如***所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学”。

　　二、学生学*情况分析

　　函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：(一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数;(二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学*典型的对、指、幂和三解函数;(三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

　　1.有利条件

　　现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

　　初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。

　　2.不利条件

　　用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。

　　三、教学目标分析

　　课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

　　1.知识与能力目标：

　　⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性;

　　⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系;

　　⑶会求简单函数的定义域和值域

　　2.过程与方法目标：

　　⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型;

　　⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

　　3.情感、态度与价值观目标：

　　感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。

　　四、教学重点、难点分析

　　1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数;

　　重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。 但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y?1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y?1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。

　　突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。

　　2.教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念;第二：符号“y=f(x)”的含义的理解.

　　难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。

　　突破难点：难点的突破要依托丰富的实例，从集合与对应的角度恰当地引导，而对抽象符号的理解则要结合函数的三要素和小例子进行说明。

　　五、教法与学法分析

　　1.教法分析

　　本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，关注学生的原有的知识基础，注重概念的形成过程，从初中的函数概念自然过度到函数的*代定我。

　　2.学法分析

　　在教学过程中我注意在教学中引导学生用模型法分析函数问题、通过自主学*法总结“区间”的知识。

　　函数概念教案 4

　　学*目标：

　　(1)理解函数的概念

　　(2)会用集合与对应语言来刻画函数，

　　(3)了解构成函数的要素。

　　重点：

　　函数概念的理解

　　难点：

　　函数符号y=f(x)的理解

　　知识梳理：

　　自学课本P29—P31，填充以下空格。

　　1、设集合A是一个非空的实数集，对于A内 ，按照确定的对应法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作 。

　　2、对函数 ，其中x叫做 ，x的取值范围(数集A)叫做这个函数的 ，所有函数值的集合 叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。

　　3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要

　　。

　　4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验：

　　① ;② 。

　　5、设a, b是两个实数，且a

　　(1)满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，记作 。

　　(2)满足不等式a

　　(3)满足不等式 或 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ;

　　分别满足x≥a,x>a,x≤a,x

　　其中实数a, b表示区间的两端点。

　　完成课本P33，练*A 1、2;练*B 1、2、3。

　　例题解析

　　题型一：函数的概念

　　例1：下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是( )

　　练*：设M={x| }，N={y| },给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有____个。

　　题型二：相同函数的判断问题

　　例2：已知下列四组函数：① 与y=1 ② 与y=x ③ 与

　　④ 与 其中表示同一函数的是( )

　　A. ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④

　　练*：已知下列四组函数，表示同一函数的是( )

　　A. 和 B. 和

　　C. 和 D. 和

　　题型三：函数的定义域和值域问题

　　例3：求函数f(x)= 的定义域

　　练*：课本P33练*A组 4.

　　例4：求函数 ， ，在0，1，2处的函数值和值域。

　　当堂检测

　　1、下列各组函数中，表示同一个函数的是( A )

　　A、 B、

　　C、 D、

　　2、已知函数 满足f(1)=f(2)=0，则f(-1)的值是( C )

　　A、5 B、-5 C、6 D、-6

　　3、给出下列四个命题：

　　① 函数就是两个数集之间的对应关系;

　　② 若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素;

　　③ 因为 的函数值不随 的变化而变化，所以 不是函数;

　　④ 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.

　　其中正确的有( B )

　　A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个

　　4、下列函数完全相同的是 ( D )

　　A. , B. ,

　　C. , D. ,

　　5、在下列四个图形中，不能表示函数的图象的是 ( B )

　　6、设 ，则 等于 ( D )

　　A. B. C. 1 D.0

　　7、已知函数 ，求 的值.( )

　　函数概念教案 5

　　一.学*目标：

　　1.知识与技能

　　（1）能够由和角公式而导出倍角公式；

　　（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；

　　（3）能推导和理解半角公式；

　　（4）揭示知识背景，引发学生学*兴趣，激发学生分析、探求的学*态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.

　　2.过程与方法

　　让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练*,巩固所学知识.

　　3.情感态度价值观

　　通过本节的学*，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.

　　二．学*重、难点

　　重点:倍角公式的应用.

　　难点:公式的推导.

　　三 .学法：

　　(1)自主+探究性学*：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

　　(2)反馈练*法：以练*来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

　　四.学*设想

　　1、复*两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

　　2、提出问题：公式中如果 ，公式会变得如何？

　　3、让学生板演得下述二倍角公式：

　　这组公式有何特点？应注意些什么？

　　注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如： 是 的倍角.

　　2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）

　　3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

　　这两个形式今后常用.

　　例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

　　例1.（公式巩固性练*）求值：

　　①．sin2230’cs2230’=

　　②．

　　③．

　　④．

　　例2.化简

　　①．

　　②．

　　③．

　　④．

　　例3、已知 ，求sin2，cs2，tan2的值。

　　解：∵ ∴

　　∴sin2 = 2sincs =

　　cs2 =

　　tan2 =

　　思考：你能否有办法用sin、cs和tan表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin、cs和tan分别表示sin3，cs3，tan3.

　　例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

　　例4. cs20cs40cs80 =

　　例5.求函数 的值域.

　　解： ————降次

　　学生练*：

　　思考（学生思考，学生做，教师适当提示）

　　你能够证明：

　　证：1在 中，以代2， 代 即得：

　　∴

　　2在 中，以代2， 代 即得：

　　∴

　　3以上结果相除得：

　　这组公式有何特点？应注意些什么？

　　注意：1左边是*方形式，只要知道 角终边所在象限，就可以开*方。

　　2公式的“本质”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切

　　3上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）

　　4还有一个有用的公式： （课后自己证）

　　例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

　　例6.已知cs ，求 的值.

　　例7.求cs 的值.

　　例8.已知sin ， ，求 的值.

　　[学*小结]

　　1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如： 是 的倍角.

　　2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.

　　3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

　　这两个形式今后常用.

　　4.半角公式左边是*方形式，只要知道 角终边所在象限，就可以开*方；公式的“本质”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切.

　　5．注意公式的结构，尤其是符号.

函数概念教案(5)份扩展阅读

函数概念教案(5)份（扩展1）

——《函数的概念》教案 (菁华3篇)

《函数的概念》教案1

　　一、教学目标

　　1、知识与技能：

　　函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．

　　2、过程与方法：

　　（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

　　（2）了解构成函数的要素；

　　（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

　　（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

　　3、情态与价值，使学生感受到学*函数的必要性的重要性，激发学*的积极性。

　　二、教学重点与难点：

　　重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

　　难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

　　三、学法与教学用具

　　1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.

　　2、教学用具：投影仪.

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1、复*初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

　　2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

　　（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

　　（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

　　（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

　　3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

　　4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

　　5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

　　（二）研探新知

　　1、函数的有关概念

　　（1）函数的概念：

　　设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）．

　　记作：y=f(x)，x∈a．

　　其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．

　　注意：

　　①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

　　②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

　　（2）构成函数的三要素是什么？

　　定义域、对应关系和值域

　　（3）区间的概念

　　①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

　　②无穷区间；

　　③区间的数轴表示．

　　（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？

　　通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)

　　y=ax2+bx+c(a≠0)

　　y=(k≠0)

　　比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

　　师：归纳总结

《函数的概念》教案2

　　今天我说课的内容是函数的*代定义也就是函数的第一课时内容。

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学*，所以函数的第一课时非常的重要。

　　2、教学目标及确立的依据：

　　教学目标：

　　（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的*代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

　　（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

　　（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

　　教学目标确立的依据：

　　函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

　　3、教学重点难点及确立的依据：

　　教学重点：映射的概念，函数的*代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

　　教学难点：映射的概念，函数*代概念，及函数符号的理解。

　　重点难点确立的依据：

　　映射的概念和函数的*代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以*年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的*代定义及函数符号的理解与运用上。

　　二、教材的处理：

　　将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学*热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

　　三、教学方法和学法

　　教学方法：讲授为主，学生自主预*为辅。

　　依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

　　四、教学程序

　　一、课程导入

　　通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

　　例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

　　二.新课讲授：

　　（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：A→B，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

　　（2）巩固练*课本52页第八题。

　　此练*能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

　　例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的*代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

　　并把函数的*代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

　　再以让学生判断的方式给出以下关于函数*代定义的注意事项：

　　2.函数是非空数集到非空数集的映射。

　　3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

　　4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

　　5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。

　　6.“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。

　　三.讲解例题

　　例1.问y=1（x∈A）是不是函数？

　　解：y=1可以化为y=0+1

　　画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

　　[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。

　　四.课时小结：

　　1.映射的定义。

　　2.函数的*代定义。

　　3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

　　4.函数*代定义的五大注意点。

　　五.课后作业及板书设计

　　书本P51*题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

　　预*函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

《函数的概念》教案3

　　一、教材分析

　　本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

　　托马斯说：“函数概念是*代数学思想之花”。生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。

　　函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如*所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学”。

　　二、学生学*情况分析

　　函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：

　　(一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数;

　　(二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学*典型的对、指、幂和三解函数;

　　(三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

　　1.有利条件

　　现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的.，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

　　初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。

　　2.不利条件

　　用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。

　　三、教学目标分析

　　课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

　　1.知识与能力目标：

　　⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性;

　　⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系;

　　⑶会求简单函数的定义域和值域

　　2.过程与方法目标：

　　⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型;

　　⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

　　3.情感、态度与价值观目标：

　　感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。

　　四、教学重点、难点分析

　　1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数;

　　重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。

　　突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。

　　2.教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念;第二：符号“y=f(x)”的含义的理解.

　　难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。

　　突破难点：难点的突破要依托丰富的实例，从集合与对应的角度恰当地引导，而对抽象符号的理解则要结合函数的三要素和小例子进行说明。

　　五、教法与学法分析

　　1.教法分析

　　本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，关注学生的原有的知识基础，注重概念的形成过程，从初中的函数概念自然过度到函数的*代定我。

　　2.学法分析

　　在教学过程中我注意在教学中引导学生用模型法分析函数问题、通过自主学*法总结“区间”的知识。

函数概念教案(5)份（扩展2）

——函数概念教案 (菁华5篇)

函数概念教案1

　　教学目标：

　　1、进一步理解的概念，能从简单的实际事例中，抽象出关系，列出解析式；

　　2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围.

　　3、会求值，并体会自变量与值间的对应关系.

　　4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量的取值范围的求法.

　　5、通过的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.

　　教学重点：了解的意义，会求自变量的取值范围及求值.

　　教学难点：概念的抽象性.

　　教学过程：

　　（一）引入新课：

　　上一节课我们讲了的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的.

　　生活中有很多实例反映了关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与吗？

　　1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系.

　　2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系.

　　解：1、y=30n

　　y是，n是自变量

　　2、 ，n是，a是自变量.

　　（二）讲授新课

　　刚才所举例子中的，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.

　　例1、求下列中自变量x的取值范围．

　　（1） （2）

　　（3） （4）

　　（5） （6）

　　分析：在（1）、（2）中，x取任意实数， 与 都有意义.

　　（3）小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ，因此要求 .

　　同理（4）小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 .

　　第（5）小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 ．

　　同理，第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数,

　　.

　　解：（1）全体实数

　　（2）全体实数

　　（3）

　　（4） 且

　　（5）

　　（6）

　　小结：从上面的例题中可以看出的解析式是整数时，自变量可取全体实数；的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零.

　　注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.

　　但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成 或 .在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里 与 是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.

函数概念教案2

　　教学目标：

　　1．通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应；

　　2．了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域；

　　3．通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学*过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．

　　教学重点：

　　两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　1．情境．

　　正方形的边长为a，则正方形的周长为 ，面积为 ．

　　2．问题．

　　在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？

　　二、学生活动

　　1．复述初中所学函数的概念；

　　2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解；

　　3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质．

　　三、数学建构

　　1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）；

　　问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：

　　（1）这一变化过程中，有哪几个变量？

　　（2）这几个变量的范围分别是多少？

　　问题2 略．

　　问题3 略（详见23页）．

　　2．函数：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为＝f（x），x∈A．其中，所有输入值x组成的集合A叫做函数＝f（x）的定义域．

　　（1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系；

　　（2）函数的本质是一种对应；

　　（3）对应法则f可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格

　　（4）对应是建立在A、B两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f（x）＝2x，（x＝0）．

　　3．函数＝f（x）的定义域：

　　（1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线；

　　（2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没

　　有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数．

　　四、数*用

　　例1．判断下列对应是否为集合A 到 B的函数：

　　（1）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；

　　（2）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；

　　（3）A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x．

　　练*：判断下列对应是否为函数：

　　（1）x→2x，x≠0，x∈R；

　　（2）x→，这里2＝x，x∈N，∈R。

　　例2 求下列函数的定义域：

　　（1）f（x）＝x—1；（2）g（x）＝x＋1＋1x。

　　例3 下列各组函数中，是否表示同一函数？为什么？

　　A．＝x与＝（x）2； B．＝x2与＝3x3；

　　C．＝2x－1（x∈R）与＝2t－1（t∈R）； D．＝x＋2x－2与＝x2－4

　　练*：课本26页练*1～4，6．

　　五、回顾小结

　　1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应（A→B）

　　2．函数的对应本质；

　　3．函数的对应法则和定义域．

　　六、作业：

　　课堂作业：课本31页*题2。1（1）第1，2两题．

函数概念教案3

　　教学目标：

　　1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；

　　2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；

　　3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学*过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．

　　教学重点：

　　用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　1．情境．

　　复述函数及函数的定义域的概念．

　　2．问题．

　　概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？

　　二、学生活动

　　1．理解函数的值域的概念；

　　2．能利用观察法求简单函数的值域；

　　3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．

　　三、数学建构

　　1．函数的值域：

　　（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之

　　为函数的值域；

　　（2）值域是集合B的子集．

　　2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；

　　四、数*用

　　（一）例题．

　　例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．

　　例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．

　　（1）x∈{－1，0，1，2，3}；

　　（2）x∈R；

　　（3）x∈[－1，3]；

　　（4）x∈(－1，2]；

　　（5）x∈(－1，1)．

　　例3 求下列函数的值域：

　　①＝ ；②＝ ．

　　例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：

　　x1234x1234

　　f(x)2341g(x)2143

　　分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．

　　（二）练*．

　　（1）求下列函数的值域：

　　①＝2－x2；②＝3－|x|．

　　（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．

　　（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．

　　（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．

　　（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．

　　五、回顾小结

　　函数的对应本质，函数的定义域与值域；

　　利用分解的思想研究复合函数．

　　六、作业

　　课本P31-5，8，9．

函数概念教案4

　　教学目标：

　　1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；

　　2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；

　　3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学*过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．

　　教学重点：

　　用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　1．情境．

　　复述函数及函数的定义域的概念．

　　2．问题．

　　概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？

　　二、学生活动

　　1．理解函数的值域的概念；

　　2．能利用观察法求简单函数的值域；

　　3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．

　　三、数学建构

　　1．函数的值域：

　　（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；

　　（2）值域是集合B的子集．

　　2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；

　　四、数*用

　　（一）例题．

　　例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．

　　例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．

　　（1）x∈{－1，0，1，2，3}；

　　（2）x∈R；

　　（3）x∈[－1，3]；

　　（4）x∈(－1，2]；

　　（5）x∈(－1，1)．

　　例3 求下列函数的值域：

　　①＝ ；②＝ ．

　　例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：

　　x1234x1234

　　f(x)2341g(x)2143

　　分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．

　　（二）练*．

　　（1）求下列函数的值域：

　　①＝2－x2；②＝3－|x|．

　　（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．

　　（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．

　　（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．

　　（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．

　　五、回顾小结

　　函数的对应本质，函数的定义域与值域；

　　利用分解的思想研究复合函数．

　　六、作业

　　课本P31-5，8，9．

函数概念教案5

　　教学目标

　　1、使学生掌握的概念，图象和性质。

　　（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。

　　（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。

　　（3）x能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如x的图象。

　　2、x通过对的概念图象性质的学*，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　3、通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学*数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。

　　教学建议

　　教材分析

　　（1）x是在学生系统学*了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学*对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。

　　（2）x本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数x在x和x时，函数值变化情况的区分。

　　（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。

　　教法建议

　　（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是x的样子，不能有一点差异，诸如x，x等都不是。

　　（2）对底数x的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学*对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。

　　关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。

　　教学设计示例

　　课题

　　教学目标

　　1、x理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。

　　2、x通过的图象和性质的学*，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　3、x通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学*兴趣。

　　教学重点和难点

　　重点是理解的定义，把握图象和性质。

　　难点是认识底数对函数值影响的认识。

　　教学用具

　　投影仪

　　教学方法

　　启发讨论研究式

　　教学过程

　　一、x引入新课

　　我们前面学*了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数。

　　1、6、（板书）

　　这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：

　　问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数x与x之间，构成一个函数关系，能写出x与x之间的函数关系式吗？

　　由学生回答：x与x之间的关系式，可以表示为x。

　　问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为x米，试写出x与x之间的函数关系。

　　由学生回答：x。

　　在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。

　　x的概念（板书）

　　1、定义：形如x的函数称为。（板书）

　　教师在给出定义之后再对定义作几点说明。

　　2、几点说明x（板书）

　　（1）x关于对x的规定：

　　教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若x会有什么问题？如x，此时x，x等在实数范围内相应的函数值不存在。

　　若x对于x都无意义，若x则x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定x且x。

　　（2）关于的定义域x（板书）

　　教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时，x也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的"性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为x。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。

　　（3）关于是否是的判断（板书）

　　刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。

　　（4）x，x

　　（5）x。

　　学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3）x可以写成x，也是指数图象。

　　最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。

　　3、归纳性质

　　作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。

　　函数

　　1、定义域x：

　　2、值域：

　　3、奇偶性x：既不是奇函数也不是偶函数

　　4、截距：在x轴上没有，在x轴上为1。

　　对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于x轴上方，且与x轴不相交。）

　　在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故x的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。

　　此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当x越小，图象越靠*x轴，x越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。

　　二、图象与性质（板书）

　　1、图象的画法：性质指导下的列表描点法。

　　2、草图：

　　当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且x，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取x为例。

　　此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单。即x=x与x图象之间关于x轴对称，而此时x的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到x的图象。

　　最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如x的图象一起比较，再找共性）

　　由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下：

　　以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。

　　填好后，让学生仿照此例再列一个x的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。

　　3、性质。

　　（1）无论x为何值，x都有定义域为x，值域为x，都过点x。

　　（2）x时，x在定义域内为增函数，x时，x为减函数。

　　（3）x时，x，x x时，x。

　　总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。

　　三、简单应用x （板书）

　　1、利用单调性比大小。x（板书）

　　一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。

　　例1、x比较下列各组数的大小

　　（1）x与x;x（2）x与x;

　　（3）x与1x。（板书）

　　首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。

　　解：x在x上是增函数，且

　　教师最后再强调过程必须写清三句话：

　　（1）x构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。

　　（2）x自变量的大小比较。

　　（3）x函数值的大小比较。

　　后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。

　　例2。比较下列各组数的大小

　　（1）x与x;x（2）x与x ;

　　（3）x与x。（板书）

　　先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说x可以写成x，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说x可以写成x，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）

　　最后由学生说出x>1，<1。

　　解决后由教师小结比较大小的方法

　　（1）x构造函数的方法：x数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的）

　　（2）x搭桥比较法：x用特殊的数1或0。

　　四、巩固练*

　　练*：比较下列各组数的大小（板书）

　　（1）x与x x（2）x与x;

　　（3）x与x;x（4）x与x。解答过程略

　　五、小结

　　1、的概念

　　2、的图象和性质

　　3、简单应用

　　六、板书设计

函数概念教案(5)份（扩展3）

——《函数的概念》教案 (菁华3篇)

《函数的概念》教案1

　　一、教学目标

　　1、知识与技能：

　　函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．

　　2、过程与方法：

　　（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

　　（2）了解构成函数的要素；

　　（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

　　（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

　　3、情态与价值，使学生感受到学*函数的必要性的重要性，激发学*的积极性。

　　二、教学重点与难点：

　　重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

　　难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

　　三、学法与教学用具

　　1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.

　　2、教学用具：投影仪.

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1、复*初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

　　2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

　　（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

　　（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

　　（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

　　3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

　　4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

　　5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

　　（二）研探新知

　　1、函数的有关概念

　　（1）函数的概念：

　　设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）．

　　记作：y=f(x)，x∈a．

　　其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．

　　注意：

　　①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

　　②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

　　（2）构成函数的三要素是什么？

　　定义域、对应关系和值域

　　（3）区间的概念

　　①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

　　②无穷区间；

　　③区间的数轴表示．

　　（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？

　　通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)

　　y=ax2+bx+c(a≠0)

　　y=(k≠0)

　　比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

　　师：归纳总结

《函数的概念》教案2

　　今天我说课的内容是函数的*代定义也就是函数的第一课时内容。

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学*，所以函数的第一课时非常的重要。

　　2、教学目标及确立的依据：

　　教学目标：

　　（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的*代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

　　（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

　　（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

　　教学目标确立的依据：

　　函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

　　3、教学重点难点及确立的依据：

　　教学重点：映射的概念，函数的*代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

　　教学难点：映射的概念，函数*代概念，及函数符号的理解。

　　重点难点确立的依据：

　　映射的概念和函数的*代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以*年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的*代定义及函数符号的理解与运用上。

　　二、教材的处理：

　　将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学*热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

　　三、教学方法和学法

　　教学方法：讲授为主，学生自主预*为辅。

　　依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

　　四、教学程序

　　一、课程导入

　　通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

　　例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

　　二.新课讲授：

　　（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：A→B，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

　　（2）巩固练*课本52页第八题。

　　此练*能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

　　例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的*代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

　　并把函数的*代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

　　再以让学生判断的方式给出以下关于函数*代定义的注意事项：

　　2.函数是非空数集到非空数集的映射。

　　3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

　　4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

　　5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。

　　6.“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。

　　三.讲解例题

　　例1.问y=1（x∈A）是不是函数？

　　解：y=1可以化为y=0+1

　　画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

　　[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。

　　四.课时小结：

　　1.映射的定义。

　　2.函数的*代定义。

　　3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

　　4.函数*代定义的五大注意点。

　　五.课后作业及板书设计

　　书本P51*题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

　　预*函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

《函数的概念》教案3

　　一、教材分析

　　本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

　　托马斯说：“函数概念是*代数学思想之花”。生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。

　　函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如*所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学”。

　　二、学生学*情况分析

　　函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：

　　(一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数;

　　(二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学*典型的对、指、幂和三解函数;

　　(三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

　　1.有利条件

　　现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的.，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

　　初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。

　　2.不利条件

　　用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。

　　三、教学目标分析

　　课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

　　1.知识与能力目标：

　　⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性;

　　⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系;

　　⑶会求简单函数的定义域和值域

　　2.过程与方法目标：

　　⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型;

　　⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

　　3.情感、态度与价值观目标：

　　感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。

　　四、教学重点、难点分析

　　1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数;

　　重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。

　　突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。

　　2.教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念;第二：符号“y=f(x)”的含义的理解.

　　难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。

　　突破难点：难点的突破要依托丰富的实例，从集合与对应的角度恰当地引导，而对抽象符号的理解则要结合函数的三要素和小例子进行说明。

　　五、教法与学法分析

　　1.教法分析

　　本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，关注学生的原有的知识基础，注重概念的形成过程，从初中的函数概念自然过度到函数的*代定我。

　　2.学法分析

　　在教学过程中我注意在教学中引导学生用模型法分析函数问题、通过自主学*法总结“区间”的知识。

函数概念教案(5)份（扩展4）

——函数数学教案 (菁华6篇)

函数数学教案1

　　【学*引导】

　　一、自主学*

　　1. 阅读课本 P32P33

　　2. 回答问题

　　(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什么?

　　(2)层次间有什么联系?

　　(3)什么是映射?什么是一一映射原像和像分别指什么?

　　(4)函数和映射有什么区别和联系?

　　3. 完成P33练*.

　　4. 小结.

　　二、方法指导

　　本节通过简单的对应图示了解一一映射的概念，同学们在学*应该认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式. 于此同时同学们的观察能力、判断能力、论述能力都得应该到相应的提高.

　　【思考引导】

　　一、 提问题

　　1.函数有哪几要素?

　　2.函数是一种特殊的映射，特殊在哪里?

　　二、变题目

　　1.在M到N的映射中，下列说法正确的是 ( )

　　A.M中有两个不同的元素对应的象必不相同

　　B.N中有两个不同的元素的原象可能相同

　　C.N中的每一个元素都有原象

　　D.N中的某一个元素的原象可能不只一个

　　2. 设A,B是两个集合,并有下列条件:

　　①集合A中不同元素在集合B中有不同的像;②集合A,B是非空的数集;③集合B中的每一个元素在A中都有原像;④集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的像. 使对应 成为从定义域A到值域B上的函数的条件是( ).

　　A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

　　3. 集合A,B是*面直角坐标系中的两个点集,给定从A到B的映射

　　: ( , ) ( + , ),则(5,2)的原像是 .

　　4.已知A=B=R, A, B,: = +b,若1, 8的原像相应是3和10,则5在下的像是 .

　　【总结引导】

　　1. 在理解映射的概念时，应抓住集合A中的任何一个元素在集合B中都有惟一的元素和它对应，或者说A中的每个元素在B中都有惟一的象;

　　在理解一一映射的概念时，应抓住三点：①A到B是映射，②A中每个不同元素在B中有不同的象，③B中的每一个元素在A中都有原象;或者抓住两点：①A到B是映射，②B到A也是映射.

　　2. 函数的实质就是一一对应，一一映射不等同于一一对应.

　　3.映射必须满足的条件是：(1) ;(2) ; (3) .

函数数学教案2

　本文题目：高三数学教案：三角函数的周期性

　　一、学*目标与自我评估

　　1 掌握利用单位圆的几何方法作函数 的图象

　　2 结合 的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期

　　3 会用代数方法求 等函数的周期

　　4 理解周期性的几何意义

　　二、学*重点与难点

　　周期函数的概念， 周期的求解。

　　三、学法指导

　　1、 是周期函数是指对定义域中所有 都有

　　，即 应是恒等式。

　　2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。

　　四、学*活动与意义建构

　　五、重点与难点探究

　　例1、若钟摆的高度 与时间 之间的函数关系如图所示

　　(1)求该函数的周期;

　　(2)求 时钟摆的高度。

　　例2、求下列函数的周期。

　　(1) (2)

　　总结：(1)函数 (其中 均为常数，且

　　的周期T= 。

　　(2)函数 (其中 均为常数，且

　　的周期T= 。

　　例3、求证： 的周期为 。

　　例4、(1)研究 和 函数的图象，分析其周期性。

　　(2)求证： 的周期为 (其中 均为常数，

　　且

　　总结：函数 (其中 均为常数，且

　　的周期T= 。

　　例5、(1)求 的周期。

　　(2)已知 满足 ，求证： 是周期函数

　　课后思考：能否利用单位圆作函数 的图象。

　　六、作业：

　　七、自主体验与运用

　　1、函数 的周期为 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　2、函数 的最小正周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　3、函数 的最小正周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　4、函数 的周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　5、设 是定义域为R,最小正周期为 的函数，

　　若 ，则 的值等于 ()

　　A、1 B、 C、0 D、

　　6、函数 的最小正周期是 ，则

　　7、已知函数 的最小正周期不大于2，则正整数

　　的最小值是

　　8、求函数 的最小正周期为T，且 ，则正整数

　　的最大值是

　　9、已知函数 是周期为6的奇函数，且 则

　　10、若函数 ，则

　　11、用周期的定义分析 的周期。

　　12、已知函数 ，如果使 的周期在 内，求

　　正整数 的值

　　13、一机械振动中，某质子离开*衡位置的位移 与时间 之间的

　　函数关系如图所示：

　　(1) 求该函数的周期;

　　(2) 求 时，该质点离开*衡位置的位移。

　　14、已知 是定义在R上的函数，且对任意 有

　　成立，

　　(1) 证明： 是周期函数;

　　(2) 若 求 的值。

函数数学教案3

　　教学目标：

　　1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；

　　2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；

　　3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．

　　教学重点：

　　常见幂函数的概念、图象和性质；

　　教学难点：

　　幂函数的单调性及其应用．

　　教学方法：

　　采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学*，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．

　　问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？

　　二、数学建构

　　1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．

　　2．幂函数＝x 图象的分布与 的关系：

　　对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；

　　若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；

　　若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；

　　对任意的 R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．

　　3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：

　　（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；

　　≤0时，图象过只过定点(1，1)．

　　（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；

　　＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．

　　三、数*用

　　例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性

　　（1）＝ ； （2）＝ ；（3）＝ ；（4）＝ ．

　　例2 比较下列各题中两个值的大小．

　　（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1

　　（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2

　　例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．

　　练*：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；

　　③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有 （写出所有幂函数的序号）．

　　（2）函数 的定义域是 ．

　　（3）已知函数 ，当a＝ 时，f(x)为正比例函数；

　　当a＝ 时，f(x)为反比例函数；当a＝ 时，f(x)为二次函数；

　　当a＝ 时，f(x)为幂函数．

　　（4）若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为 ．

　　四、要点归纳与方法小结

　　1．幂函数的概念、图象和性质；

　　2．幂值的大小比较方法．

　　五、作业

　　课本P90-2，4，6．

函数数学教案4

　　教学目的：

　　知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.

　　2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.?

　　3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.

　　能力目标：

　　1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.

　　2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.?

　　3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.

　　授课类型：复*课

　　教学模式：讲练结合

　　教 具：多媒体、实物投影仪

　　教学过程：

　　一、复*引入：

　　1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.

　　2.确定下列各式的符号

　　(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5

　　3. .x取什么值时, 有意义?

　　4．若三角形的两内角，满足sincs 0，则此三角形必为……（ ）

　　A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能

　　5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）

　　A：sin+cs 0 B：tansin 0

　　C：csct 0 D：ctcsc 0

　　6．已知是第三象限角且，问是第几象限角？

　　二、讲解新课：

　　1、求下列函数的定义域：

　　（1） ； （2）

　　2、已知 ，则为第几象限角？

　　3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(csθ)cs(sinθ)的符号；

　　（2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出 的取值范围.

　　4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是

　　证明：必要性：∵θ是第三象限角，?

　　∴

　　充分性：∵sinθ＜0，

　　∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上

　　∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?

　　∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?

　　∴θ为第三象限角.?

　　5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．

　　三、巩固与练*

　　1 求函数 的值域

　　2 设是第二象限的角，且 的范围.

　　四、小结：

　　五、课后作业：

　　1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：

　　(1) sinα

　　2、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称 ，角β的终边上的点Q与A关于直线=x对称.求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值.

函数数学教案5

　　1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用。

　　（1） 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象。

　　（2） 能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题。

　　2.通过对数函数概念的学*，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学*，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力。

　　3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学*数学的积极性。

　　高一数学对数函数教案：教材分析

　　（1） 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的。故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。对数函数的概念，图象与性质的学*使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学*对数方程，对数不等式的基础。

　　（2） 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质。难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质。由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点。

　　（3） 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开。而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点。

　　高一数学对数函数教案：教法建议

　　（1） 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数 的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质。

　　（2） 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向。这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学*兴趣。

函数数学教案6

　　教学目标：

　　①掌握对数函数的性质。

　　②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复

　　合函数的定义域、值 域及单调性。

　　③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透，提高

　　解题能力。

　　教学重点与难点：对数函数的性质的应用。

　　教学过程设计：

　　⒈复*提问：对数函数的概念及性质。

　　⒉开始正课

　　1 比较数的大小

　　例 1 比较下列各组数的大小。

　　⑴loga5。1 ，loga5。9 (a>0，a≠1)

　　⑵log0。50。6 ，logЛ0。5 ，lnЛ

　　师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？

　　生：这两个对数底相等。

　　师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？

　　生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。

　　师：对，请叙述一下这道题的解题过程。

　　生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0

　　调递减，所以loga5。1>loga5。9 ；当a>1时，函数y=logax单调递

　　增，所以loga5。1

　　板书：

　　解：Ⅰ）当0

　　∵5。1<5。9 1="">loga5。9

　　Ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，

　　∵5。1<5。9 ∴loga5。1

　　师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？

　　生：这三个对数底、真数都不相等。

　　师：那么对于这三个对数如何比大小？

　　生：找“中间量”， log0。50。6>0，lnЛ>0，logЛ0。5<0；lnл>1，log0。50。6<1，所以logЛ0。5< log0。50。6< lnЛ。

　　板书：略。

　　师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函

　　数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数

　　函数图象的位置关系来比大小。

　　2 函数的定义域， 值 域及单调性。

　　例 2 ⑴求函数y=的定义域。

　　⑵解不等式log0。2(x2+2x-3)>log0。2(3x+3)

　　师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要

　　使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，

　　被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于

　　零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求

　　它们共同作用的结果。）

　　生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0。8x-1≥0，且真数x>0。

　　板书：

　　解：∵ 2x-1≠0 x≠0。5

　　log0。8x-1≥0 ， x≤0。8

　　x>0 x>0

　　∴x(0，0。5)∪(0。5，0。8〕

　　师：接下来我们一起来解这个不等式。

　　分析：要解这个不等式，首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，

　　再根据对数函数的单调性求解。

　　师：请你写一下这道题的解题过程。

　　生：<板书>

　　解： x2+2x-3>0 x<-3 x="">1

　　(3x+3)>0 ， x>-1

　　x2+2x-3<(3x+3) -2

　　不等式的解为：1

　　⒊小结

　　这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。

　　⒋作业

　　⑴解不等式

　　①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1)，(a为常数)

　　⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0，a≠1)

　　①求它的单调区间；②当0

　　⑶已知函数y=loga (a>0， b>0， 且 a≠1)

　　①求它的定义域；②讨论它的奇偶性;

　　③讨论它的单调性。

　　⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0，a≠1)，

　　①求它的定义域；

　　②当x为何值时，函数值大于1；

　　③讨论它的单调性。

函数概念教案(5)份（扩展5）

——函数的性质教案 (菁华5篇)

函数的性质教案1

　　一、教材分析

　　（一）教材的地位和作用

　　本课时主要学*指数函数的图像和性质概念，通过指数函数图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。本节课的重点是指数函数的图像及性质，难点在于弄清楚底数a对于函数变化的影响。通过这部分知识的学*进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学*后面的其它函数。

　　（二）教学目标

　　知识维度：初中已经学*了正比例函数、反比例函数和 一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。

　　能力维度：学生利用描点法画出函数的图像，并描述出函数的图像特征，能够为研究指数函数的性质做好准备。

　　素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。

　　1、知识与技能目标：

　　（1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）;

　　（2）会做指数函数的图像;

　　（3）能初步把握指数函数的图像，性质及其简单应用。

　　2、过程与方法目标：

　　通过由指数函数的图像归纳其性质的学*过程，由图像研究指数函数的性质。利用性质解决实际问题，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

　　3、情感态度与价值观目标：

　　（1）在学*的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学*规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题

　　（2）通过教学互动促进师生情感，激发学生的学*兴趣，提高学生抽象、概括、分析、 综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想;感受知识之间的关联性;体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学*过程;体验研究函数的一般思维方法。

　　（三）教学重点和难点

　　教学重点：指数函数的图象和性质。

　　教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。

　　教学关键：从实际出发，使学生在获得一定的感性认识和基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念;在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

　　课时安排：1课时

　　二、学情分析

　　学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系，为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。此外，初中所学有理数范围内的指数相关知识，将已有知识推广至实数范围。在此基础上进入指数函数的学*，并将所学对函数的认识进一步推向系统化。

　　三、教法分析

　　（一）教学方式

　　直接讲授与启发探究相结合

　　（二）教学手段

　　借助多媒体，展示学生的做图结果;演示指数函数的图像

　　四、教学基本思路：

　　（一）创设情境，揭示课题。

　　1创设情境（如何建立一个关于指数函数的数学模型——后续解决）

　　2引入指数函数概念

　　（二）探究新知。

　　1研究指数函数的图象

　　2归纳总结指数函数的性质

　　（三）巩固深化，发展思维

　　（四）归纳整理，提高认识

　　（五）巩固练*与作业

　　（六）教学设计说明

　　1、抛出生活中的实例，需要建立一个关于指数函数的数学模型，为学生提出问题;提高学生学*新知识的积极性以及体会数学与生活密切相关。

　　2、用简单易懂的实例引入指数函数概念，体会由特殊到一般的思想。

　　3、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。

　　4、进行一些巩固练*从而能对函数进行较为基本的应用

函数的性质教案2

　　一、教学设计思路

　　1． 本节 课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》 的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例 函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。

　　2． 对教材的分析

　　（1） 教学目标：进 一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对 函数进行认识上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。

　　（2） 重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。

　　（3） 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。

　　二、教学过程

　　（一）作图象，试比较

　　1、提问：

　　（1）=4/x 是什么函数？你会作反比例函数的图象吗？

　　（2）作图的步骤是 怎样的（3）填写电脑上的表格，开始在坐标纸上描点连线。

　　2、按照上述方法作 =—4/x 的图象3、 对照你所作的两个函数图象，找一下它们的相同点和不同点。

　　（二）细观察，找规律

　　1、让学生观察函 数 =/x 的图象 ，按下动画按钮，在运动中观察值的变化与函数图象变化之间的关系，并与同学充分讨论有何规律。

　　2、演示反比例函数中心 对称的性质以及轴对称性质，显示反比例函数的两条对称轴。

　　3、让学生观察函数 =/x 的图象，观察过反比例函数上任意一 点作x轴和轴的垂线，观察其围成矩形的面积变化情况。

　　（1） 拖动，使变化，观察不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出 结论。

　　（2） 拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。

　　（三）用规律，练一练

　　1、给出两个反比例函数的图象，判断哪一个是 =2/x 和 =—2/x 的图象。

　　2、判断一位同学画的反比例函数的图象是否正确。

　　3、下列函数中，其图象位于第一、三象限

　　的有哪几个？在其图象所在象限内，的值随x的增大而增

　　大的有哪几个？

　　（四）想一想，作小结

　　（五）作业：课本137页第1题、141页第2题

函数的性质教案3

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用

　　二次函数是在学生系统学*了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学*中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学*研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。

　　2、教学的重点和难点

　　教学重点：使学生掌握二次函数的概念、性质和图象;从函数的性质推断图象的方法。

　　教学难点：掌握从函数的性质推断图象的方法。

　　二、目标分析

　　按照新课标指出三维目标，根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

　　1、知识与技能：掌握二次函数的性质与图象，能够借助于具体的二次函数，理解和掌握从函数的性质推断图象的方研究法。

　　2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，掌握从函数解析式、性质出发去认识函数图象的高度理解和研究函数的方法。

　　3、情感、态度、价值观：让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;培养学生主动学*、合作交流的意识等。

　　三、教法学法分析

　　遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，从教师的角色突出体现教师是设计者、组织者、引导者、合作者，经过教师对教材的分析理解，在教师的组织引导和师生互动过程中以问题为载体实施整个教学过程;在学生这方面，通过自主探索、合作交流、归纳方法等一系列活动为主线，感受知识的形成过程，拓展和完善自己的认知结构，进而体现出教学过程中教师与学生的双主体作用。

　　四、教学过程分析

　　根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，即：创设情景、提出问题

　　师生互动、探究新知

　　独立探究，巩固方法

　　强化训练，加深理解

　　小结归纳，拓展深化

　　布置作业，提高升华

　　环节1本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象形状，在学生回答后，以有必要再重复吗?编者的失误?还是另有用意呢?的设问来激发学生的求知欲，在学生感觉很疑惑的时候马上进入环节2:试作出二次函数

　　的图象。目的是充分暴露学生在作图时不能很好的结合函数的性质而出现的错误或偏差问题，突出本节课的重要性。在学生总结交流的基础上教师指出学生的错误并以设问的方式提出本节课的目标：如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，进而引导学生进入师生互动、探究新知阶段。

　　在这个阶段，我引用课本所给的例题1请同学们以学*小组为单位尝试完成并作出总结发言。目的是：让学生充分参与，在合作探究中让学生最大限度地突破目标或暴露出在尝试研究过程中出现的分析障碍，即不能很好的把握函数的性质对图象的影响，不能把抽象的性质与直观的图象融会贯通，这样便于教师在与学生互动的过程中准确把握难点，各个击破，最终形成知识的迁移。在学生探讨后，教师选小组代表做总结发言，其他小组作出补充，教师引导从逐步完善函数性质的分析。其中，学生对于对称轴的确定、单调区间及单调性的分析阐述等可能存在困难。这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体演示引导学生得到分析的思路和解决的方法，在师生互动的过程中把函数的性质完善。之后进入环节3：再次让学生利用二次函数的性质推断出二次函数的图象，强化用二次函数的性质推断图象的关键。进而突破教学难点。让学生真正实现知识的迁移，完成整个探究过程，形成较为完整的新的认知体系.当然，在这个过程中可能会有学生提出图象为什么是曲线而不是直线等问题，为了消除学生的疑惑，进入第4个环节：教师要简单说明这是研究函数要考虑的一个重要的性质，是函数的凹凸性，后面我们将要给大家介绍，同学们可以阅读课本第110页的探索与研究。这样也给学生留下一个思考与探索的空间，培养学生课外阅读、自主研究的能力，增强学生学*数学的积极性.

　　在以上环节完成后，进入第5个环节：让学生对利用解析式分析性质然后推断函数图象的研究过程进行梳理并加以提炼、抽象、概括，得出研究函数的具体操作过程，使问题得以升华，拓宽学生的思维，将新知识内化到自己的认知结构中去.最终寻求到解决问题的方法。

　　教学的最终目标应该落实到每一个学生个体的内化与发展，由此让引导学生进入独立探究，巩固方法的阶段。例2在题目的设置上变换二次函数的开口方向，目的是一方面使学生加深对知识的理解，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力.学生在例1的基础上将会目标明确地进行函数性质的研究，然后推断出比较准确的函数图象，使新知得到有效巩固.

　　通过前面三个阶段的学*，学生应该基本掌握了本节课的相关知识。但对二次函数中系数a、b、c的对二次函数的影响还有待提高，为此我把课本中的例3进行改编，引导学生进入强化训练，加深理解阶段。一方面可以解决学生对奇偶性的质疑，另一方面也可以把学生对二次函数的认识提到新的高度。

　　第五个阶段：小结归纳，拓展深化。为了让学生能够站在更高的角度认识二次函数和掌握函数的一般研究方法，教师引导学生从两个方面总结。在你对函数图象与性质的关系有怎样的理解方面教师要引导、拓展，明确今天所学*的方法实际上是研究函数性质图象的一般方法，对于一些陌生的或较为复杂的函数只要借助于适当的方法得到相关的性质就可以推断出函数的图象，从而把学生的认知水*定格在一个新的高度去理解和认识函数问题。

　　最后一个阶段是布置作业，提高升华，作业的设置是分层落实.巩固题让学生复*解题思路，准确应用，以便举一反三.探究题通过对教材例题的改编,供学有余力的学生自主探索，提高他们分析问题、解决问题的能力.

　　以上六个阶段环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作，动眼观察，动脑思考，亲身经历了知识的形成和发展过程，并得以迁移内化。而最终的探究作业又将激发学生兴趣，带领学生进入对二次函数更进一步的思考和研究之中，从而达到知识在课堂以外的延伸。总之，这节课是本着“授之以渔”而非“授之以鱼”的理念来设计的。

函数的性质教案4

　　教学目标

　　使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解.

　　教学重难点

　　重点：反比例函数的图象.

　　难点：利用反比例函数的图象解题.

　　教学过程

　　一、情境创设

　　反比例函数

　　解析式y=kx(k为常数，k≠0)

　　图象形状双曲线(以原点为对称中心)

　　k>0位置一、三象限

　　增减性每一象限内，y随x的增大而减小

　　k<0位置二、四象限

　　增减性每一象限内，y随x的增大而增大

　　二、例题讲解

　　例1.如图是反比例函数的图象的一支。

　　(1)函数图象的另一支在第几象限?试求常数m的取值范围;

　　(2)点都在这个反比例函数的图象上，比较、、的大小

　　例2.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,

　　求:(1)一次函数的解析式;

　　(2)△AOB的面积.

　　四、课堂练*

　　课本P70练*1、2题

　　五、课堂小结

　　1.反比例函数的图象.

　　2.反比例函数的性质.

　　六、课堂作业

　　课本P72/第5题

函数的性质教案5

　　【知识与技能】

　　1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

　　2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.

　　【过程与方法】

　　经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维*惯.

　　【情感态度】

　　通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.

　　【教学重点】

　　1.会画y=ax2(a＞0)的图象.

　　2.理解,掌握图象的性质.

　　【教学难点】

　　二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.

　　一、情境导入，初步认识

　　问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?

　　问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?

　　【教学说明】

　　①略；

　　②列表、描点、连线.

　　二、思考探究，获取新知

　　探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.

　　画二次函数y=ax2的图象.

　　【教学说明】

　　①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.

　　②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.

　　③强调画抛物线的三个误区.

　　误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.

　　误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.

　　误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用*滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.

函数概念教案(5)份（扩展6）

——函数的概念教学反思实用10篇

　　函数的概念教学反思 1

　　函数是高中数学中一个非常重要的内容之一，它贯穿整个高中阶段的数学学*，乃到一生的数学学*过程。其重要性主要体现在：

　　1、函数本身源于在现实生活，例如自然科学乃至于社会科学中，具有广泛的应用。

　　2、函数本身是数学的重要内容，是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。亦是今后进一步学*高等数学的基础和方法。

　　3、函数部分内容蕴涵大量的重要数学方法，如函数的思索，方程的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，化归的思想，换元法，侍定系数法、配方法等。这些思想方法是进一步学*数学和解决数学问题的基础，是我们教学过程中应注意重点讲解学生重点掌握的部分。

　　然而函数这部份知识在教学中又是一大难点这主要是因为概念的抽象性，学生理解起来相当不容易，接受起来就更难这又是由于函数这部份知识的'主要思想特点体现于一个“变”字。即研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系，要求用变量的眼光，运动变化的关点去看侍和接触相关问题，这与初中学*知识的以静态观点为中*的思维特点有较大差异，所以函数成了高一新生进入高中首先到的一条拦路虎，有些学生高中毕业了，对函数这个概念也没有理解透澈。

　　实际上，在学*函数这部份知识中，函数概念是最重要的，也就是最难的地方，突破了它后面的学*就容易了。现行的数学教材，其主要内容表现的都是数学知识的技术形式。函数的概念亦是如此，不管是传统定义也好，还是*代定义也好，表现出来的都是抽象数学形式，在数学的教学中，学*形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。对数学知识的教学要返璞归真，努力揭示数学概念、法则，结论发展过程和本质。对越是抽象的数学概念，越是如此。所以函数概念的教学更忌照本宣科，要注意对知识进行重组。努力去提示函数概念的本质，使学生真正理解它，觉得它有用，而乐于学*它。

　　函数的概念教学反思 2

　　在高中数学中，函数概念的教学是我们教师的一个难题。听了老师的讲座，给我带来了新的思路，也为解决这个难题提供了很好的指导。

　　虽然对函数概念本质理解并非一次就能实现，它有一个循序渐进、逐步完善，通过多角度多章节的学*，学生才能有一个较完整的深刻理解。但我们在学生刚接触函数概念时就应让学成从多角度去思考，去理解。

　　第一，从初高中数学中对函数定义的比较中，让学生能从初中的描述性概念把函数看成变量之间的依赖关系到高中用集合与对应的语言定义函数，从而达到函数概念的提升，从而更好地解决如y=3这样的常数函数概念的解释。

　　第二要用好课本，用课本教，而非教课本。充分利用好课本中函数概念的背景教学，通过三个实例：炮弹发射；大气层臭氧问题，恩格尔系数问题培养学生观察问题提出问题的`探究能力，培养学生抽象概括逐步学会数学表达和交流。

　　第三充分发挥函数图像的集合直观作用，加强数形结合思想。数形结合，几何直观的数学思想方法对学生理解函数概念以及性质十分重要。通过让学生作图观察图像充分认识函数概念的整体性。我觉得这种方法在高中阶段是贯彻始终的。只有让学生充分学好图像认识好图像，能看懂图像，能解释图像，那么对解决花束问题将起着十分重要的作用。

　　函数的概念教学反思 3

　　函数，作为高中数学的一个重要组成部分，是学生学*的重点和难点。在经过集体备课，小组讨论，心中还是没有想好教学过程。在听过卢老师的课后，心中有了一点点儿底气。从而，我设计了这样的教学计划。首先，师生共同阅读教材上的三个实例。

　　这三个例子刚好对应了他们初中所学函数的三种表示方法（解析式法、图像法、表格），学生熟悉更容易接受，再把每个例子中的自变量和因变量的取值分别组成两个数集A和B，共同探讨总结出三个例子的`共同点，从而引出函数的概念。强调构成函数的四个条件，重点是对这个符号的理解，说明它只是一个数。其次，根据函数的概念，给出六个小例子，让学生根据函数的概念判断所给例子是否能构成函数。

　　有四个分别是违反函数概念中的四个条件，让学生知道函数的条件缺一不可。另外两个例子说明函数可以一对一，可以多对一，但绝不允许多对一。讲完之后，发现学生的问题出现在两个集合的先后顺序，这就说明必须结合实际例子强调知识点。最后，给出函数定义域和值域的概念，并明确定义域和值域都是集合。之后让学生说出常见的三种函数：一次函数，一元二次函数，以及反比例函数的定义域以及值域。（在此之前，已经让学生在练*本上划过几个具体的一次函数，一元二次函数以及反比例函数的图像。）

　　函数的概念教学反思 4

　　在高中数学中，函数概念的教学是我们教师的一个难题。听了老师的讲座，给我带来了新的思路，也为解决这个难题提供了很好的指导。

　　虽然对函数概念本质理解并非一次就能实现，它有一个循序渐进、逐步完善，通过多角度多章节的学*，学生才能有一个较完整的深刻理解。但我们在学生刚接触函数概念时就应让学成从多角度去思考，去理解。

　　第一，从初高中数学中对函数定义的比较中，让学生能从初中的描述性概念把函数看成变量之间的依赖关系到高中用集合与对应的语言定义函数，从而达到函数概念的提升，从而更好地解决如y=3这样的常数函数概念的解释。

　　第二要用好课本，用课本教，而非教课本。充分利用好课本中函数概念的.背景教学，通过三个实例：炮弹发射；大气层臭氧问题，恩格尔系数问题培养学生观察问题提出问题的探究能力，培养学生抽象概括逐步学会数学表达和交流。

　　第三充分发挥函数图像的集合直观作用，加强数形结合思想。数形结合，几何直观的数学思想方法对学生理解函数概念以及性质十分重要。通过让学生作图观察图像充分认识函数概念的整体性。我觉得这种方法在高中阶段是贯彻始终的。只有让学生充分学好图像认识好图像，能看懂图像，能解释图像，那么对解决花束问题将起着十分重要的作用。

　　函数的概念教学反思 5

　　学*培训提供的视频，结合本节课的上课经历，我反思如下：

　　一、备课要完备，上课按照备课来走

　　备课要多研究课本，研究课本的题目设置，备课前还要翻看海南省五年来高考题，以做到和编书者出题者步调一致。比如新课改后课本多是举例引入或得出概念、公式、定理，淡化逻辑证明，而高考更多是考基础性常规题，那么老实备课的时候就要注意重视应用，淡化理论。

　　我个人的问题是上课思路容易混乱，喜欢用口头禅，爱重复啰嗦生怕学生不懂，随口加一些不严格的内容。那么解决方法就是(1)备课的时候，通过举例和好玩的生活实例直接引入核心内容，从直观上接受重点“任意x唯一y”，尽可能简化解释，多做具体示例;(2)上课时铺开课本和备课本，是不是扫两眼，禁止临时加话。(3)在备课基础上，上课讲完备课的内容即可，在各内容之间加一句简单的承上启下的连接就行了。

　　二、对学生睡觉者记名上报德育处，没有观众的.表演没有激情

　　我认为学*是学生的权利，而不是我强迫学，所以之前我从不管学生讲话玩手机睡觉。但是后面发现居然有一大片睡觉，而且我明明很有激情，讲着讲着我就困了。于是我采用了请班长科代表记名，每堂课交名单给我，期末汇总上交德育处的方法，正好12月12日学校在升旗时，发布了一个自动退学处分，学生都是害怕开除的，所以后面每节课，只有个别自我放弃的学生睡觉了。上课一眼扫下去，都坐得端端正正，我就有更多表演的欲望和随机应变的串场内容。

　　三、上课多一些夸张的表情和声调，以抵抗数学高难度带来的乏味

　　数学对海南学生来说，难是肯定的，所以极易疲惫。老师要充满爱的去搞笑，娇嗔耍宝装萌讲笑话，或者夸张发音，故意带口音，跟学生一唱一和瞎说，都可以带来学生一笑。长期还会融洽师生关系，得到学生的喜爱。

　　四、核心还是重点反复强调，难点要技巧性突破

　　对一个老师来说，不管你的课堂多么生动活泼，这只是形式，核心还是在知识点够不够精简好记，重点难点学生是很轻松地懂了，还是说模模糊糊脑袋都懵了，这全在于老师在备课和上课上下的功夫，在于老师自己想透了没，找到合适的讲授或类比方法没。突破完全在一瞬间一个简单的道理，千万不要把师生都绕进去。

　　每章结束后，我会和学生一起在书皮上把本章核心知识点简洁总结，方便翻看。不重要的不需要记忆，我会直接告诉学生。

　　最后，把一本课本和高考强调的核心知识点总结成好记的数字：比如必修1是7。比如必修2是71221k。

　　函数的概念教学反思 6

　　对于必修1函数概念的教学活动中，我有以下反思：

　　函数是高中数学的重要研究问题，贯穿整个高中数学的学*。然而同学们对初中的函数概念的理解根深蒂固。要使他们接受从集合角度所定义的`函数概念很难。本身这个概念很抽象，叙述起来很冗长，同学们读了一遍又一遍始终不解其意，我便采用启发式教学，就像学*语文一样，让大家总结函数的本质为：“函数是一种对应关系”再启发得到：“函数是两个非空数集之间的对应关系”，又得到“函数是两个非空数集之间满足一对一或多对一的对应关系”，再加上细节性的定语。大多数同学顿时觉得茅塞顿开，明白清楚。我又加之几个实例判断是否为函数并分解其理由，同学们更加清楚明了。

　　通过这个概念的学*，我从中得到启示：要使学生数学思维生动活泼对抽象概念的学*不能照本宣科，必须对知识重组，揭示概念的本质，使学生乐于学*它，并运用它。

　　这是我这节课后的一点小反思，也算是以后授课的一点小启示。

　　函数的概念教学反思 7

　　二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学*二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学*求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学*过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 在教学中，我主要遇到了这样几个问题：

　　1、关于能够进行整理变为整式的式子形式判断不准，主要是我自身对这个概念把握不是很清楚，通过这节课的教学过程，和各位老师的帮助知道，真正达到了教学相长的效果。

　　2、在细节方面我还有很多的不足，比如，在二次函数的表示过程中，应注意强调按自变量的降幂排列进行整理，这类问题在今后的教学中，我会注意这些方面的教学。

　　3、在变式训练的过程中要注意思考容量和密度以及效度的`关系，注意教学安排的合理性。另外在教学语言的精炼方面我还有待加强。

　　函数的概念教学反思 8

　　本节的学*内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax2、y=ax2+h、y=a（x-h）2的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax2的图像经过一定的*移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h≠0，k≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学*的常用方法，同学们应注意学*和运用。另外，在本节内容学*中同学们还要注意 “类比”前几节的'内容学*，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。

　　通过本节课教学，得出几点体会：

　　1、在教学中二次函数图像的对称轴，顶点坐标，开口方向尤其重要，必需特别强调。

　　2、在探究中要积累研究问题的方法并积累经验，学生在前面已经历过探索、分析和建立两个变量之间的关系的过程，学*了一次函数和反比例函数，学会了用描点法作函数图象并据此分析得出函数的性质。我们可以把研究这些问题的方法应用于研究二次函数的图象和性质，并据此形成研究问题的基本方法。

　　3、要使课堂真正成为学生展示自我的舞台

　　还学生课堂学*的主体地位，教师要把激发学生学*热情和获得学*能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的机会，使课

　　函数的概念教学反思 9

　　《夸父追日》是人教版三下年级的课文，这是一篇神话故事，最大的特点就是“神奇”。因此，我在设计教案时，就以“神奇”为线索，构造教学步骤：划一划，品一品，写一写，评一评，对比阅读，渗透着作者用夸张的修辞方法突显神奇，整一节课下来，同学们能较好地感受到“夸父追日”的神奇，也能较神奇地表达夸父所经历的困难与克服困难的办法，一切都在自己的计划之中。

　　教研员虞勇军老师肯定了我以“神奇”为线索展开的一系列教学，认为这些环节的设计与实施充分考虑到了文本的特点、学生的特点，同时指出，我们还可以做得更“神奇”些，将“神奇”做透。(1)充分利用课题。课题“夸父追日”中的“追日”本身就很神奇，在此，拓展“神话的起源”，会让学生感到更神奇。(2)在品读句子“于是夸父拿着手杖，提起长腿，迈开大步，像是风似的奔跑，向着西斜的太阳追去，一眨眼就跑了两千里。”这一句时，可以引发学生想象：腿会有多长呢?人会有多高呢?山、河在他的眼里会成什么呢?……(3)摘录“让你觉得神奇的句子”这一自主学*作业可以改成讲这个神话故事，一方面符合神话故事口口相传的特点，另一方面鼓励学生添油加醋地讲，比比谁讲得更神奇，会让学生对“神奇”的感受更深。

　　遗憾的课堂才是有价值的课堂

　　对于一个教师，总希望自己的'课堂不出岔子，能顺利达成目标，因此，在一些细节的设计时，往往会避重就轻，将岔子先排除在外。比如说，我在《夸父追日》这一课的教学时，为了防止学生找出来的句子很多，却不能马上提到那些最明显的句子，会拖延课堂上的时间，于是，我这样设计：“请你找出3处让你感到最神奇的地方”。虞老师提出：课堂要允许学生出岔子，当学生出岔子时，你就会想办法去解决，这才会有提升。

　　当我将写完的教案给一些老师看时，他们说：“好难的教案哦，这个方案更适合高段学生，三年级的学生能做到吗?”当我第一次试教完时，发现时间很不够。我痛苦了，怎么办?我的设计太难了，如果全盘否定，我不知道怎么入手。于是，修改教案，把可以缩时间的地方尽量缩，力求让这堂课的主线不掉链。当我呈现完这一堂课后，虞老师并未觉得这堂课的设计超过了三年级的孩子水*，而是说，这些应该抓的点你都抓到了，用这些方法去抓这些点很好。同时还指出最后对比阅读时，《山海经》这一段话可以请学生来读一读，讲一讲意思。我心中一惊，这可是一篇文言文，在五年级时才出现第一篇文言文《杨氏之子》，孩子们能读懂吗?当时，我也曾想过简单讲一下意思，但想想太难了，于是放弃了。因此，我只是由自己读了一遍给孩子们听，急急地引到课文写得不错，因为它充分运用了夸张的修辞方法，将这个神话故事写得很神奇。(没想到，犯了“二元论”的错误)正当我回忆着，虞老师说：“让学生逐句说说这篇文言文的意思，正好检查课文是否读懂了。”是呀，读得懂，最好，读不懂，我给予一些解释，算是让学生多理解几个词的意思也好，算是为高段的文言文教学渗透也好，想想应该是有益处吧?其实，追根究底，还是担心课堂上出岔子的心理在作怪而已。

　　人无完人，同样，课也无完课，允许学生出岔子，在某种程度上是不同思维的碰撞，在某种程度上，也督促老师去解决问题，没有问题的出现，怎么会去探索解决问题的方法。话虽轻松，但要做好就不是那么容易的了，只能尽自己所能罢了。

　　函数的概念教学反思 10

　　对于教师来说，'反思教学'就是教师自觉地把自己的课堂教学实践，作为认识对象而进行全面而深入的冷静思考和总结，它是一种用来提高自身的业务，改进教学实践的学*方式，不断对自己的教育实践深入反思，积极探索与解决教育实践中的一系列问题。进一步充实自己，优化教学，并使自己逐渐成长为一名称职的人类灵魂工程师。以下是我在上了函数的概念之后的一点反思：

　　这堂课堂气氛较为活跃。学生不仅能在课堂上勇于发言，而且还敢于质疑并且能做到言之有理，还能积极参与小组讨论交流，共同分享团队协作的成果，基本完成教学目标。

　　这堂课是研究函数的概念。这节课主要采用了探索、发现、归纳、反馈的教学流程，达成了对函数的概念的教学。

　　函数性质的研究是高中阶段数学学*的一个重要组成部分，因此函数概念的学*是研究函数性质时应予以考查的一个重要方面，并且要在后续学*中体现这个性质的应用。它在计算函数值，讨论函数单调性，绘制函数图象均有用处，对学生来说这是一个新的概念。引进新概念的过程也是培养学生探索问题、发现规律、作出归纳的过程。因此在教学时没有生硬地提出问题，而是采用生活中的事例引入，继而引出数值在直角坐标系中的对应关系导出新概念，不仅顺乎自然而且为以后研究函数奇偶性的几何意义（图形对称的两条定理）埋下伏笔。

　　本堂课的一个亮点是反馈过程中给出几个例题后所引起学生的思考、发言、争执、讨论以至正确答案的达成一致的过程，其中教师起了很及时和恰当的提示。学生的勇于质疑使课堂上呈现一派生气勃勃的景象，学*积极性和主动性得到了充分调动，使学生对看似简单的函数的概念也产生了不容轻视感，同时也发展了能力。一般来说学生在学*一些简单的知识点时会觉得乏味，在组织教学时充分考虑了这些浅显、*淡的知识还有一些值得思索和注意的地方。真正体现出“浅显中有新意，*淡中有隽永”。

　　我上课的最大风格是注重将新概念讲清讲透，能在师生互动的过程中培养学生的探索能力和高度概括能力，并使学生举一反三。难能可贵有同学能概括出的结论，因此可以以它作为下节课研究函数奇偶性的引入语。

　　总体来说，这堂课较好地使学生在学*中完成了“引起关注――――激发热情――――参与体验”的过程，是一堂比较成功的课。

　　遗憾之处是发言的学生由于受时间的约束，发言的人数和长度不够理想。

　　（1）函数的概念，看起来比较简单，学生学*时也往往感觉的乏味。因此，在组织教学时必须考虑到如何使学生感到这些浅显、*淡的知识还有一些值得思索与注意的地方。

　　（2）根据学生的接受能力可将内容安排两节课的教学。

函数概念教案(5)份（扩展7）

——三角函数的教案（精选5篇）

　　三角函数的教案 1

　　教学目标：

　　1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，*方关系、商数关系、倒数关系．

　　2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．

　　教学重点：

　　理解并掌握同角三角函数关系式．

　　教学难点：

　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；

　　教学用具：

　　直尺、投影仪．

　　教学步骤：

　　1．设置情境

　　与初中学*锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

　　2．探索研究

　　（1）复*任意角三角函数定义

　　上节课我们已学*了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？

　　在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离是 ，则角 的六个三角函数的值是：

　　（2）推导同角三角函数关系式

　　观察 及 ，当 时，有何关系？

　　当 且 时 、 及 有没有商数关系？

　　通过计算发现 与 互为倒数：∵ ．

　　由于 ，

　　这些三角函数中还存在*方关系，请计算 的值．

　　由三角函数定义我们可以看到： ．

　　∴ ，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：

　　①*方关系：

　　②商数关系：

　　③倒数关系：

　　即同一个角 的正弦、余弦的*方和等于1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．

　　（3）同角三角函数关系式的应用

　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．

　　已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的.值．

　　解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．

　　如果 是第二象限角，那么

　　如果 是第三象限角，那么 ，

　　说明：本题没有具体指出 是第几象限的角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　已知 ，求 的值．

　　解： ，且 ， 是第二或第三象限角．

　　如果 是第二象限角，那么

　　如果 是第三象限角，那么 ．

　　说明：本题没有具体指出 是第几象限角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　已知 为非零实数，用 表示 ， ．

　　解：因为 ，所以

　　又因为 ，所以

　　于是 ∴

　　由 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：

　　在三角求值过程当中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有*方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．

　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4

　　化简下列各式：

　　（1） ；（2） ．

　　解：（1） （2）

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）已知： ，求 的其他各三角函数值．

　　（2）已知 ，求 ， ．

　　（3）化简：

　　解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角．

　　如果 是第二象限的角，则：

　　又

　　如果 是第三象限的角，那么

　　（2）解：∵ ∴ 是第二或第四象限的角

　　由的求法可知当 是第二象限时

　　当 是第四象限时

　　（3）解：原式

　　4．本课小结

　　（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此 ， ……．

　　（2）诸如 ， ，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．

　　（3）利用*方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

　　课时作业：

　　1．已知 ， ，则 等于（ ）

　　A． B． C． D．

　　2．若 ，则 的值是（ ）

　　A．－2 B．2 C．±2 D．

　　3．化简

　　4．化简 ，其中 为第二象限角．

　　5．已知 ，求 的值．

　　6．已知 是三角形的内角， ，求 值．

　　三角函数的教案 2

　　教学目标

　　1.能够把数学问题转化成数学问题。

　　2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。

　　过程与方法

　　经历探索实际问题的过程，进一步三角函数在解决实际问题过程中的应用。

　　情感态度与价值观

　　积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，三角函数是解决实际问题的有效工具。

　　教学重点与难点

　　重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。

　　难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。

　　教学过程

　　一、问题引入，了解仰角俯角的概念。

　　提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18°，求A、B间的距离。

　　提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称∠ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？

　　2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？

　　教师通过问题的分析与讨论与学生共同学*也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。

　　二、测量物体的高度或宽度问题.

　　1.提出老问题，寻找新方法

　　我们学*中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学*了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。

　　利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？

　　学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。

　　2.运用新方法，解决新问题.

　　⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30°，测量仪距古塔60米，则古塔高（ ）米。

　　⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（ ）米。

　　⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河宽（精确到0.1米）。

　　在这一部分的练*中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想。

　　三、与方位角有关的决策型问题

　　1.提出问题

　　一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在北偏东60°的方向上；40nin后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区。这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有有进入危险区的可能？

　　2.师生共同分析问题按以下步骤时行：

　　⑴根据题意画出示意图，

　　⑵分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，

　　⑶不存在直角三角形时需要做辅助线构造直角三角形，如何构造？

　　⑷选用适当的边角关系解决数学问题，

　　⑸按要求确定正确答案，说明结果的实际意义。

　　3.学生练*

　　某景区有两景点A、B，为方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路（即线段AB）。经测量在A点北偏东60°的方向上在B点北偏西45°的方向上，有一半径为0.7千米的小水潭，问水潭会不会影响公路的修建？为什么？

　　学生可以分组讨论来解决这一问题，提出不同的方法。

　　延伸阅读：

　　 中考复*专题（二） 待定系数法复*教案

　　【内容分析】

　　重点：灵活选择题目给定的条件，利用待定系数法确定函数解析式.

　　难点：会利用或找出给的条件设出函数解析式的一般形式.

　　考点：待定系数法是确定代数式中某些项的系数的重要数学方法，它是以代数式形式上的恒等变换的性质为依据，通过特定的已知条件，辩证地转化已知和未知的关系，从而求得代数式中某些系数的值，在中考题目中往往会有多处涉及，其中临沂市*几年中考题最后压轴的第一问多是利用待定系数法确定函数解析式.

　　【复*目标】

　　通过训练，让学生熟练掌握待定系数法确定函数解析式.

　　【环节安排】

　　环节

　　问题设计

　　教学活动设计

　　1.如图１，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ）

　　A．y=－x+2 B．y=x+2 C．y=x －2 D．y= －x－2

　　2.已知点A（m，1）在直线y=2x－1上，求m的方法 是 ，可得m= .

　　3.已知点B（－2，n）在直线y=2x－1上，求n的方法是 ，可得n= .

　　4.已知某一次函数的图象经过点P（3，5）和Q（－4，－9），求一次函数的解析式是一般先 ，再由已知条件可得 ，解得 ，∴满足已知条件的一次函数解析式是： ，这个一次函数解析式的图象与坐标轴交点坐标为： .

　　5.一次函数的图象经过反比例函数 的图象上的A、B两点，且点A的横坐标与点B的纵坐标都是2. 求这个一次函数的解析式.教师引入新课后，出示题目，学生自主完成.

　　教师巡视，及时发现学生完成的情况，记录下所出现的问题，以便集中处理.

　　教师要求学生在做题的同时，总结解决问题所运用的知识点、方法和规律.

　　找学生展示完成的情况，师生共同点评和分析，同时就检查过程中发现的问题进行处理，就本部分所用到的知识进行 方法总结.

　　【例1】如图2，抛物线经过 三点．求出抛物线的解析式.

　　【例2】如图3，一次函数 与反比例函数 的图像交与Ａ(２,３)Ｂ(-３，ｎ)两点．

　　（１）求一次函数与反比例函数的解式；

　　（２）根据所给条件，请直接写出不等式ｋｘ＋ｂ＞ 的解集： .

　　（3）过B点作BD⊥x轴，垂足为C,求△ABC的面积.

　　【变式练*】已知如图4，抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.求抛物线的解析式；

　　教师出示例题，学生开始思考，先独立分析，然后在小组内交流，解答.

　　教师巡视，了解学生的讨论情况或解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.

　　学生讨论交流后，请3位学生讲解.

　　展示部分学生的解答练*.

　　师生共同评析.

　　1．点（2,4）在一次函数 的图象上，则 _____.

　　2．若反比例函数 的图象经过点 ，则该函数的解析式为_____．

　　3.函数 y＝x2＋bx＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b＝ .

　　4.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图5，则这个二次函数的解析式是 y＝___ .

　　5.函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是( )

　　A. m、n是常数，且m≠0 B. m、n是常数，且m≠n

　　C. m、n是常数，且n≠0

　　D. m、n可以为任意实数

　　6.抛物线 y＝x2－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）

　　A. 0B. 4C. －4 D. 2

　　教师出示问题，学生开始解答

　　教师巡视，了解学生的解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.

　　学生展示自己的成果，教师点评分析，并及时地鼓励学生。

　　通过本节课的复*，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？

　　教师提出问题，学生思考，总结，在小组内交流．

　　人教版九年级数学上册全册教案及作业题（带答案）

　　第二十一 二次根式

　　教材内容

　　1．本单元教学的主要内容：

　　二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

　　2．本单元在教材中的地位和作用：

　　二次根式是在学完了八年级下册第十七《反比例正函数》、第十八《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学*的，它也是今后学*其他数学知识的基础．

　　教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）理解二次根式的概念．

　　（2）理解 （a≥0）是一个非负数，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．

　　（3）掌握 ＝ （a≥0，b≥0）， = ；

　　= （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．

　　（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

　　2．过程与方法

　　（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

　　（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．

　　（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

　　（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

　　3．情感、态度与价值观

　　通过本单元的学*培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

　　教学重点

　　1．二次根式 （a≥0）的内涵． （a≥0）是一个非负数；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其运用．

　　2．二次根式乘除法的规定及其运用．

　　3．最简二次根式的概念．

　　4．二次根式的加减运算．

　　教学难点

　　1．对 （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及应用．

　　2．二次根式的乘法、除法的条限制．

　　3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

　　教学关键

　　1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

　　2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．

　　单元时划分

　　本单元教学时间约需11时，具体分配如下：

　　21．1 二次根式 3时

　　21．2 二次根式的乘法 3时

　　21．3 二次根式的加减 3时

　　教学活动、*题、小结 2时

　　21．1 二次根式

　　第一时

　　教学内容

　　二次根式的概念及其运用

　　教学目标

　　理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目．

　　提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

　　教学重难点关键

　　1．重点：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

　　2．难点与关键：利用“ （a≥0）”解决具体问题．

　　教学过程

　　一、复*引入

　　（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

　　问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．

　　问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

　　问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

　　老师点评：

　　问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（ ， ）．

　　问题2：由勾股定理得AB=

　　问题3：由方差的概念得S= .

　　二、探索新知

　　很明显 、 、 ，都是一些正数的算术*方根．像这样一些正数的算术*方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．

　　（学生活动）议一议：

　　1．-1有算术*方根吗？

　　2．0的算术*方根是多少？

　　3．当a<0， 有意义吗？

　　老师点评:（略）

　　例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）．

　　分析：二次根式应满足两个条：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0．

　　解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、 、 、 ．

　　例2．当x是多少时， 在实数范围内有意义？

　　分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义．

　　解：由3x-1≥0，得：x≥

　　当x≥ 时， 在实数范围内有意义．

　　三、巩固练*

　　教材P练*1、2、3．

　　四、应用拓展

　　例3．当x是多少时， + 在实数范围内有意义？

　　分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0．

　　解：依题意，得

　　由①得：x≥-

　　由②得：x≠-1

　　当x≥- 且x≠-1时， + 在实数范围内有意义．

　　例4(1)已知y= + +5，求 的值．(答案:2)

　　(2)若 + =0，求a2004+b2004的值．(答案: )

　　五、归纳小结（学生活动，老师点评）

　　本节要掌握：

　　1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．

　　2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

　　六、布置作业

　　1．教材P8复*巩固1、综合应用5．

　　2．选用时作业设计．

　　3.后作业:《同步训练》

　　第一时作业设计

　　一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）

　　A．- B． C． D．x

　　2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

　　A． B． C． D．

　　3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）

　　A．5 B． C． D．以上皆不对

　　二、填空题

　　1．形如________的式子叫做二次根式．

　　2．面积为a的正方形的边长为________．

　　3．负数________*方根．

　　三、综合提高题

　　1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

　　2．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？

　　3．若 + 有意义，则 =_______．

　　4.使式子 有意义的未知数x有（ ）个．

　　A．0 B．1 C．2 D．无数

　　5.已知a、b为实数，且 +2 =b+4，求a、b的值．

　　第一时作业设计答案:

　　一、1．A 2．D 3．B

　　二、1． （a≥0） 2． 3．没有

　　三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x= ．

　　2．依题意得： ，

　　∴当x>- 且x≠0时， ＋x2在实数范围内没有意义．

　　3.

　　4．B

　　5．a=5，b=-4

　　21.1 二次根式(2)

　　第二时

　　教学内容

　　1． （a≥0）是一个非负数；

　　2．（ ）2=a（a≥0）．

　　教学目标

　　理解 （a≥0）是一个非负数和（ ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

　　通过复*二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术*方根的意义导出（ ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

　　教学重难点关键新标第一网

　　1．重点： （a≥0）是一个非负数；（ ）2=a（a≥0）及其运用．

　　2．难点、关键：用分类思想的方法导出 （a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（ ）2=a（a≥0）．

　　教学过程

　　一、复*引入

　　（学生活动）口答

　　1．什么叫二次根式？

　　2．当a≥0时， 叫什么？当a<0时， 有意义吗？

　　老师点评（略）．

　　二、探究新知

　　议一议：（学生分组讨论，提问解答）

　　（a≥0）是一个什么数呢？

　　老师点评：根据学生讨论和上面的练*，我们可以得出

　　（a≥0）是一个非负数．

　　做一做：根据算术*方根的意义填空：

　　（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；

　　（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．

　　老师点评： 是4的算术*方根，根据算术*方根的意义， 是一个*方等于4的非负数，因此有（ ）2=4．

　　同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以

　　（ ）2=a（a≥0）

　　例1 计算

　　1．（ ）2 2．（3 ）2 3．（ ）2 4．（ ）2

　　分析：我们可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的结论解题．

　　解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32（ ）2=325=45，

　　（ ）2= ，（ ）2= ．

　　三、巩固练*

　　计算下列各式的值：Xk b 1 . co m

　　（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2 （4 ）2

　　四、应用拓展

　　例2 计算

　　1．（ ）2（x≥0） 2．（ ）2 3．（ ）2

　　4．（ ）2

　　分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

　　（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2≥0．

　　所以上面的4题都可以运用（ ）2=a（a≥0）的重要结论解题．

　　解：（1）因为x≥0，所以x+1>0

　　（ ）2=x+1

　　（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2

　　（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

　　又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1

　　（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2

　　又∵（2x-3）2≥0

　　∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9

　　例3在实数范围内分解下列因式:

　　（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

　　分析：(略)

　　五、归纳小结

　　本节应掌握：

　　1． （a≥0）是一个非负数；

　　2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．

　　六、布置作业

　　1．教材P8 复*巩固2．（1）、（2） P9 7．

　　2．选用时作业设计．

　　3.后作业:《同步训练》

　　第二时作业设计

　　一、选择题

　　1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个数是（ ）．

　　A．4 B．3 C．2 D．1

　　2．数a没有算术*方根，则a的取值范围是（ ）．

　　A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0

　　二、填空题

　　1．（- ）2=________．

　　2．已知 有意义，那么是一个_______数．

　　三、综合提高题

　　1．计算

　　（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 （4）（-3 ）2

　　(5)

　　2．把下列非负数写成一个数的*方的形式:

　　（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）

　　3．已知 + =0，求xy的值．

　　4．在实数范围内分解下列因式:

　　（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5

　　第二时作业设计答案:

　　一、1．B 2．C

　　二、1．3 2．非负数

　　三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6=

　　（4）（-3 ）2=9× =6 (5)-6

　　2．（1）5=（ ）2 （2）3.4=（ ）2

　　（3） =（ ）2 （4）x=（ ）2（x≥0）

　　3． xy=34=81

　　4.（1）x2-2=（x+ ）（x- ）

　　（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）

　　(3)略

　　垂陉定理

　　（九年级数学）圆（二）――垂径定理

　　第 周星期 班别： 姓名： 学号：

　　环节一、学*目标：掌握垂径定理及简单运用

　　环节二、问题探讨

　　问题1:

　　如图：AB是直径（弦AB过圆点），CD是弦，且CD⊥AB于P，你能在图中找到其他相等的量吗？

　　图中相等的线段有： ，相等的弧有：

　　猜测：

　　条件

　　归纳:

　　垂径定理：垂直于弦的直径*分 ，*分这条弦所对的

　　几何语言：∵AB为⊙O的直径，（或者:弦AB过圆心）

　　AB⊥CD

　　∴DP= , ， （垂径定理）

　　拓展:

　　在垂径定理中，题设与结论共有5个语句，分别是：

　　(1)弦AB过圆心O（AB是直径）；(2)弦AB垂直于弦CD（AB⊥CD）;

　　(3)弦AB*分弦CD（DP=CP）；(4)弦AB*分 （ ）;

　　(5)弦AB*分 （ ）;

　　其中用任两个作为条件，都可以推出其他三个结论.

　　环节三、垂径定理的应用

　　例1：在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆的半径是10cm，求圆心O到AB的距离。

　　解：连接AO，作OE⊥AB于E

　　∵OE经过⊙O的圆心，OE⊥AB

　　∴AE= = cm（ ）

　　在Rt△AOE中，∵OE2= （ ）

　　∴OE= =

　　答：OE的长为

　　环节四、做一做A组

　　1、如图：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于点E，若CD=8

　　的度数是120°, 的度数是240°,则CE= ,

　　ED= ,

　　2、在⊙O中，半径OA=30，弦AB长30，求点O到AB的距离。

　　分析：(1)点O到AB的距离是过点O作AB的 线，垂足为 ，此时线段 为点O到AB的距离。

　　(2)要求点O到AB的距离，即求线段 的长，此时线段在什么图形中？

　　已知什么条件，可用什么方法？

　　解：过点O作 ，垂足为

　　3、图1：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于E，若CD=16，圆的半径为10，则圆心到弦CD的距离是

　　4、图1:在⊙O中，若 ， ，则弦AB必经过 ，且DE=

　　5、图1：在⊙O中，OE=5，弦CD=24，AB⊥CD于E,则⊙O的半径为

　　6、如图，MN是⊙O的直径，C是AB的中点，AB=6，OC=4，求OA及直径MN

　　解:∵MN是直径，AB弦且C是AB的中点

　　∴AC= ，MN AB( )

　　∵AB=6

　　∴AC=

　　在Rt△AOE中，∵OA2=( )2+( )2（ ）

　　∴OA= = =

　　又∵直径MN= OA

　　∴直径MN=

　　答：OA为 ，直径MN为

　　B组

　　7、如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB=120°,OA=5cm，则圆心O到AB的距离和弦AB的长。

　　解：

　　8、如图：在半径为5cm的圆中，AC是直径，弦AB⊥BC，OD⊥AB于D，若BC=6cm，求OD和AB的长.

　　解:

　　C组

　　9、如图⊙O的半径是5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB和CD的距离。

　　解：

　　10、右图是我国隋代建造的赵州桥，我们可以很方便地量出它的跨度为37.4米，拱高为7.2米，我们怎样通过跨度和拱高求出桥拱的半径？

　　证明2导学案

　　善国中学九年级数学导学案

　　题1.2.2直角三角形型新授时5教师

　　目标进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；

　　重点了解勾股定理及其逆定理的证明方法；

　　难点结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

　　教法合作探究

　　一、预*导航预*导航

　　1、写出你知道的勾股数

　　2、勾股定理的内容是：__ ______ _______

　　它的条是：______ _______________________ _________;

　　结论是：______________ ________________。

　　学*困惑记录

　　二、讲授新

　　探究新

　　3、将勾股定理的条和结论分别变成结论和条，其内容是：

　　下面我们试着将上述命题证明：

　　已知：在△ABC中，AB2+AC2=BC2

　　求证：△ABC是直角三角形。

　　分析：要△ABC是直角三角形，只须∠A=90°，单独只有一个三角形不能得出结论，那就需用另外作一个Rt△A′B′C′,使∠A′=90°, A′B′=AB, A′C′=AC，通过证三角形全等得到结论。

　　证明：

　　定理：如果三角形两边的__________等于______ _ ___，那么这个三角形是直角三角形。

　　四、合作交流：

　　1、观察勾股定理及上述定理，它们的条和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系。

　　（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。

　　如果两个角相等，那么它们是对顶角。

　　（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

　　如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

　　（3）三角形中相等的边所对的角相等。

　　三角形中相等的角所对的边相等。

　　像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条和结论分别是另一个命题的__________和__________。

　　2、“想一想”，回答下列问题：

　　（1）写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的*方相等”的逆命题。它们都是真命题吗？

　　（2）一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？

　　互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

　　（4）是否任何定理都有逆定理？

　　（5） 思考我们学过哪些互逆定理？

　　三、应用深化当堂训练：

　　1、判断

　　（1）每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（ ）

　　（2）命题正确时其逆命题也正确。（ ）

　　（3）直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。（ ）

　　2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）

　　①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10

　　A、①②④ B、②④⑤ C、①③⑤ D、①③④

　　下训练：

　　1、以下命题的逆命题属于假命题的是（ ）

　　A、两底角相等的两个三角形是等腰三角形。

　　B、全等三角形的对应角相等。

　　C、两直线*行，内对角相等。

　　D、直角三角形两锐角互等。

　　2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是

　　_______________________________________________

　　3、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20C，则两直角边为（ ， ）

　　4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。

　　5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

　　A、五边形是多边形。

　　B、两直线*行，同位角相等。

　　C、如果两个角是对顶角，那么它们相等。

　　D、如果AB=0，那么A=0，B=0。

　　6、公园中景点A、B间相距50，景点A、C间相距40，景点B、C间相距30，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？

　　7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8处，已知旗杆原长16，则旗杆在距底部几米处断裂。

　　8、小明将长2.5的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7，如果梯子的顶端垂直下滑0.4，那么梯子的底端B将向外移动多少米。

　　中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？

　　切线的判定

　　数学：35.4《切线的判定》教案（冀教版九年级下）

　　一、教材分析

　　1、教材所处的地位和作用

　　切线的判定是九年制义务教育课本数学九年级第二学期第三十五章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是学*圆的切线长和切线长定理等知识的基础。

　　2、内容

　　“切线的判定和性质”共两个课时，课本上将切线判定定理和性质定理的导出作为第一课时，两个定理的运用和切线的两种常用的判定方法作为第二课时。为了突出本节课的重点、突破难点，我没有采用教材安排的顺序，而是依据初三学生认知特点，将切线的判定方法作为第一课时，切线的性质定理以及两个定理的综合运用作为第二课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复*，又是对后面学*综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，让呈现一个循序渐进、温过知新的过程。

　　本节课主要有三部分内容：（1）切线的判定定理（2）切线的判定定理的应用（3）切线的两种判定方法。教学重点是切线的判定定理及其应用。教学难点是切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一。

　　二、教学对象分析

　　在学*本节内容之前学生已经掌握了圆的切线的定义，直线和圆的三种位置关系和一种直线与圆相切的判定方法（用d=r）。在学*用d=r来判定直线与圆相切的内容时曾为本节内容打过伏笔，设置过悬念，所以学生对本节内容的学*充满期待的。

　　三、教案设计思路

　　为了实现教学目标，本节课我主要突出抓好以下五个环节：

　　1.复*提问??打好基础，为新课作铺垫。

　　问题1是例2的基础，问题2则起着复旧孕新、引入新课的作用。

　　2.发现、证明、理解定理??学好基础知识。

　　根据初三学生有一定创造、自学能力的特点，在教学中，教师通过启发和指导学生阅 读教材，教会学生通过自己观察，发现结论，再设法证明结论的学*方法，同时也强化了学生的阅读、自学能力。

　　3.应用定理??培养基本技能。

　　定理是基础，应用是目的。本环节首先给出两道判断题，目的是为了让学生更好地明确此定理的使用条件，然后在此基础上讲解例1。讲解时，我抓住教材本身的特点，用两头凑的办法揭示证题思路，显示证题的书写程序，较好地解决了本课的难点。之后，做两个练*加以巩固，最后由师生共同完成例2，总结出判定切线常用的两种添辅助线的方法。

　　4.小结与拓展

　　通过小结，进一步帮助学生明确本节课的重点内容。拓展题是本节内容的提升，不是很难，但有助于培养学生的数学思想以及良好的思维*惯，激发学*的积极性。

　　5.布置作业??充分发挥家庭作业的 巩固知识、形成技能的作用。作业的分层布置，使每一位学生都有难度适 宜的作业，不但能培养优生，而且可以照顾到后进生，充分体现了因材施教的教学原则。

　　《切线的判定》教案

　　教学目标：1、理解切线的判定定理，并学会运用。

　　2、知道判定切线常用的方法有两种，初步掌握方法的选择。

　　教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法。

　　教学难点：切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一．

　　教学过程：

　　一、复*提问

　　【教师】问题1.怎样过直线l上一点P作已知直线的垂线？

　　问题2.直线和圆有几种位置关系？

　　问题3.如何判定直线l是⊙O的切线？

　　启发：（1）直线l和⊙O的公共点有几个？

　　（2）圆心O到直线L的距离与半径的数量关系 如何？

　　学生答完后，教师强调（2）是判定直线 l是⊙O的切线的常用方法，即： 定理：圆心O到直线l的距离OA 等于圆的半 （如图1，投影显示）

　　再启发：若把距离OA理解为 OA⊥l，OA=r；把点A理解为半径在圆上的端点 ，请同学们试将上面定理用新的理解改写成新的命题，此命题就 是这节课要学的“切线的判定定理”（板书课题）

　　二、引入新课内容

　　【学生】命题：经过半径的在圆上的端点且垂直于半 径的直线是圆的切线。

　　证明定理：启发学生分清命题的题设和结论，写出已 知、求证，分析证明思路，阅读课本P60。

　　定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

　　定理的`证明：已知：直线l经过半径OA的外端点A，直线l⊥OA，

　　求证：直线l是⊙O的切线

　　证明：略

　　定理的符号语言：∵直线l⊥OA，直线l经过半径OA的外端A

　　∴直线l为⊙O的切线。

　　是非题：

　　（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。 （ ）

　　（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线。 （ ）

　　三、例题讲解

　　例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。

　　求证：直线AB是⊙O的切线。

　　引导学生分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连结OC，只要证明AB⊥OC即可。

　　证明：连结OC.

　　∵OA=OB，CA=CB，

　　∴AB⊥OC

　　又∵直线AB经过半径OC的外端C

　　∴直线AB是⊙O的切线。

　　练*1、如图，已知⊙O的半径为R，直线AB经过⊙O上的点A，并且AB=R，∠OBA=45°。求证：直线AB是⊙O的切线。

　　练*2、如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于点D，AC*分∠BAD。

　　求证：CD是⊙O的切线。

　　例2、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°。

　　求证：DE是⊙O的切线。

　　思考题：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的*分线交BC于D，以D为圆心，BD为半径作圆，问⊙D的切线有几条？是哪几条？为什么？

　　四、小结

　　1．切线的判定定理。

　　2．判定一条直线是圆的切线的方法：

　　①定义：直线和圆有唯一公共点。

　　②数量关系：直线到圆心的距离等于该圆半径（即d = r）。

　　③切线的判定定理：经过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

　　3．证明一条直线是圆的切线的辅助线和证法规律。

　　凡是已知公共点（如：直线经过圆上的点；直线和圆有一个公共点；）往往是"连结"圆心和公共点，证明"垂直"（直线和半径）；若不知公共点，则过圆心作一条线段垂直于直线，证明所作的线段等于半径。即已知公共点，“连半径，证垂直”；不知公共点，则“作垂直，证半径”。

　　五、布置作业

　　《切线的判定》教后体会

　　本课例《切线的判定》作为市考试院调研课型兼区级研讨课，我以“教师为引导，学生为主体”的二期课改的理念出发，通过学生自我活动得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。本节课切实反映了*时的教学情况，为前来调研和研讨的老师提供了真实的样本。反思本节课，有以下几个成功与不足之处：

　　成功之处：

　　一、教材的二度设计顺应了学生的认知规律

　　这批学生*惯于单一知识点的学*，即得出一个知识点，必须由浅入深反复进行练*，巩固后方能加以提升与综合，否则就会混淆概念或定理的条件和结论，导致错误，久之便会失去学*数学的兴趣和信心。本教时课本上将切线判定定理和性质定理的导出作为第一课时，两个定理的运用和切线的两种常用的判定方法作为第二课时，学生往往会因第一时间得不到及时的巩固，对定理本质的东西不能很好地理解，在运用时抓不住关键，解题仅仅停留在模仿层次上，接受能力薄弱的学生更是因知识点多不知所措，在云里雾里。二度设计将切线的判定方法作为第一课时，切线的性质定理以及两个定理的综合运用作为第二课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复*，又是对后面学*综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，教学呈现了一个循序渐进、温过知新的过程。从学生的反馈情况判断，教学效果较为理想。

　　二、重视学生数感的培养呼应了课改的理念

　　数感类似与语感、乐感、美感，拥有了感觉，知识便会融会贯通，学*就会轻松。拥有数感，不仅会对数学知识反应灵敏，更会在生活中不知不觉运用数学思维方式解决实际问题。本节课中，两个例题由教师诱导，学生发现完成的，而三个*题则完全放手让学生去思考完成，不乏有不会做和做得复杂的学生，但在展示和交流中，撞击出思维的火花，难以忘怀。让学生尝试总结规律，也是对学生能力的培养，在本节课中，辅助线的规律是由学生得出，事实证明，学生有这样的理解、概括和表达能力。通过思考得出正确的结论，这个结论往往是刻骨铭心的，长此以往，对数和形的感觉会越来越好。

　　不足之处：

　　一、这节课没有“高潮”，没有让学生特别兴奋激起求知欲的情境，整个教学过程是在一个*静、和谐的氛围中完成的。

　　二、课的引入太直截了当，脱离不了应试教学的味道。

　　三、教学风格的定势使所授知识不能很合理地与生活实际相联系，一定程度上阻碍了学生解决实际问题能力的发展。

　　中考数学方程及方程组的应用复*

　　节第二题

　　型复*教法讲练结合

　　目标（知识、能力、教育）1.掌握列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。培养学生分析、解决问题的能力。

　　2. 掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能灵活运用不等式（组）、函数、几何等数学知识，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。

　　重点掌握工程问题、行程问题、增长率问题、盈亏问题、 商品打折、商品利润（率）、储蓄问题中的一些基本数量关系。

　　教学难点列方程解应用题中---寻找等量关系

　　教学媒体学案

　　教学过程

　　一：【前预*】

　　（一）：【知识梳理】

　　1.列方程解应用题常用的相等关系

　　题型基本量、基本数量关系寻找思路方 法

　　工作

　　（工程）

　　问题工作量、工作效率、工作时间

　　把全部工作量看作1

　　工作量=工作效率×工作时间相等关系：各部分工作量之和=1

　　常从工作量、工作时间上考虑相等关系

　　比例问题

　　相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为 ，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式

　　年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人*等。

　　利息

　　问题本息和、本金、利息、利率、期数关系：利息=本金×利率×期数相等关系：

　　本息和=本金+利息

　　行程问题

　　追击问题

　　路程、速度、时间的关系：

　　路程=速度×时间1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程

　　2：同时不同地出发 ：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程

　　相遇问题同

　　上相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程

　　航行问题顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

　　逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度1：与追击、相遇问题的思路方法类似

　　2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。

　　数字问题多位数的表示方法： 是一个多位数可以表示为 （其中0＜a、b、c＜10的整数）1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。

　　2：常常设间接未知数。

　　商品利润

　　率问题商品利润=商品售价－商品进价

　　首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降 价等含义。

　　2.列方程解应用题的步骤:

　　（1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数；

　　（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；

　　（4 ）解方程； （5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；

　　（6）答：注意带单位．

　　（二）：【前练*】

　　1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠 10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是

　　2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元

　　3. 某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇 万美元

　　4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为

　　5. 一个批发与零售兼营的具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)元（m为正整数，且m2－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m2－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，则①x的取值范围应为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元

　　（用含x，m的代数式表示）

　　二：【经典考题剖析】

　　1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，如果甲乙二人分别从A、

　　B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，求甲乙二人

　　路程时间速度

　　甲x32

　　乙x+432

　　的骑车速度．

　　分析： 设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时

　　行程问题即为时间、路程、速度三者之间的关系问题，在分析题意时，先画出示意

　　图（数形结合思想），然后设未知数，再列表，第一列填含未知数的量，第二列填题

　　目中最好找的量，第三列不再在题目中找，而是用前面两个量表示，往往等量关系

　　就在第三列所表示的量中．解完方程时要注意双重检验．

　　等量关系：t甲-t乙=40分钟＝ 小时，方程： ．

　　2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为

　　使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？

　　工时工作量工效

　　原计划x 1

　　实际x-31

　　分析：工程量不明确，一般视为1，设原计划完成这项工程用x个月，实际只用了（x-3）

　　个月.等量关系：

　　实际工效=原计划工效×（1+12%）．

　　方程：

　　3.某商场销售一批名牌衬衫，*均每天可售出20，每盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每衬衫每降价1元，商场*均每天可多售出2。

　　（1）若商场*均每天要盈利1200 元，每衬衫应降价多少元？

　　（2）每衬衫应降价多少元时，商场*均每天盈利最多？

　　分析：（1）设每衬衫应降价 元，则由盈利 可解出 但要

　　注意“尽快减少库存”决定取舍。（2）当 取不同的值时，盈利随 变化，可配方为： 求最大值。但若联系二次函数的最值求解，可设： 结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。所以 在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。答案：（1）每衬衫应降价20元；（2）每衬衫应降价15元时，商场*均每天盈利最高。

　　4.某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，

　　其中团体票占总票数的 ．若提前购票， 则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体

　　票每张12元，共售出团体票数的 ， 零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持*？

　　分析：这样的题字一大堆，看到头就发胀，同学们不要怕，要有信心，一定要仔细读题，当你读懂题后事实上这类题还是比较简单的，学数学的目的就是解决现实生活中的实际问题．

　　因为总票数不明确，所以看为1，设6月零售票每张定价 元．

　　团体票数团体票收入零售票数零售票收入

　　5月 （张） （元） （张） （元）

　　6月 （张） （元） （张） （元）

　　等量关系：5月总收入=6月总收入

　　方程 .

　　5.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，

　　鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用

　　竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，（1）求鸡场

　　的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解

　　起着怎样的作用？

　　三：【后训练】

　　1.如图是某公司*三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①2001

　　年的利润率比2000年的利润率高2％；②2002年的利润率比2001年的利润率高8％；

　　③这三年的利润率14％；④这三年中2002年的利润率最高。其中正确的结论共有（ ）

　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

　　2.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客

　　运列车的行车速度每小时比原增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1

　　小时，求列车提速前 的速度（只列方程）．

　　3.2003年春天，在党和**的领导下，我国 进行了一场抗击“非典”的战争．为了控制

　　疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上 级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗

　　病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完

　　成任务，该厂原计划每天加工多少万只口罩？

　　4.一水池有甲、乙两水管，已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时．现

　　在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开

　　始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？

　　5.某公司向银行贷款40万元，用生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15％

　　（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元，

　　应纳税款为销售额的10％。如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润＝

　　销售额－成本－应纳税款）用归还贷款，问需几年后能一次还清？

　　6.某商店1995年实现利税40万元（利税＝销售金额－成本），1996年由于在销售管

　　理上 进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元，

　　（1）这个商店利税1996年比1995年增长百分之几？

　　（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，

　　求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？

　　四：【后小结】

　　布置作业地纲

　　三角函数的教案 3

　　一、教学目标：

　　1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；

　　2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；

　　3.能用计算机处理有关的*似计算问题.

　　二、重点难点：

　　重点是待定系数法求三角函数解析式;

　　难点是选择合理数学模型解决实际问题.

　　三、教学过程：

　　【创设情境】

　　三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.

　　【自主学*探索研究】

　　1．学生自学完成P42例1

　　点O为做简谐运动的物体的*衡位置，取向右的方向为物**移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距*衡位置最远处时开始计时.

　　（1）求物体对*衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；

　　（2）求该物体在t=5s时的位置.

　　（教师进行适当的评析.并回答下列问题：据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？）

　　2．讲解p43例2(题目加已改变)

　　2．讲析P44例3

　　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠*船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

　　（1）选用一个三角函数来*似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的*似数值.

　　（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

　　（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

　　问题：

　　（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？

　　（2）图表中的`最大值与三角函数的哪个量有关？

　　（3）函数的周期为多少？

　　（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？

　　3．学生完成课本P45的练*1，3并评析.

　　【提炼总结】

　　从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学*中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学*我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.

　　四、布置作业：

　　P46*题1.3第14、15题

　　三角函数的教案 4

　　一、知识与技能

　　1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值

　　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;

　　3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题

　　二、过程与方法

　　1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;

　　2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.

　　三、情感、态度与价值观

　　1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.

　　2.通过三角函数线学*，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的`思维*惯，拓展思维空间

　　教学重点：三角函数线的作法及其简单应用

　　教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.

　　三角函数的教案 5

　　一、锐角三角函数

　　正弦和余弦

　　第一�n时：正弦和余弦（1）

　　教学目的

　　1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。

　　2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

　　重点、难点、关键

　　1，重点：正弦的概念。

　　2，难点：正弦的概念。

　　3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。

　　教学过程

　　一、复*提问

　　1、什么叫直角三角形？

　　2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？

　　二、新授

　　1，让学生阅读教科书第一页上的'插图和引例，然后回答问题：

　　（1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达）

　　（2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形）

　　（3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的*地或纸张，再说画图也不方便。）

　　（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。）

　　但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。

　　2，在RT△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

　　类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边／斜边＝BC／AB＝BC／＝1／＝／2 这就是说，当∠A＝450时，∠A的对边与斜边的比值等于／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

　　那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？

　　（引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值。）

　　三、巩固练*：

　　在△ABC中，∠C为直角。

　　1，如果∠A＝600，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

　　2，如果∠A＝600，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？

　　3，如果∠A＝300，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

　　4，如果∠A＝450，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

　　四、小结

　　五、作业

　　1，复*教科书第1－3页的全部内容。

　　2，选用�n时作业设计。

函数概念教案(5)份（扩展8）

——变量与函数评课稿优选【5】份

　　变量与函数评课稿 1

　　对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域、对应法则、图像之间有较为明显的关系。因此在教学过程中，我类比指数函数图象和性质的研究，研究了对数函数图象和性质。同学们课堂上能积极主动参与获得性质的过程。我用了三节课就对数函数的图象和性质，图象和性质的应用进行讲解。可从作业和课堂效果看来。同学们没有对指数函数的性质和图象掌握的好，分析有以下原因。

　　1、学生对对数函数概念的理解及对数的运算不过关。导致部分题目出现运算错误或不会。

　　2、利用对数函数的单调性比较俩个对数式的大小书写格式不规范。说明同学们用函数的观点解决问题的'思想方法还没形成。

　　3、同学们对对数与指数的互化不是很熟练。导致有关指对互化题目出现错误。尤其是解决有关对数和指数混合式子的有关计算时困难很大，问题最多。还有在解决有关对数型函数定义域问题 ，更不会用对数函数的单调性去解决。

　　以上这些原因我通过认真的反思，同时参考学生提出的意见，决定讲俩节*题课，针对学生存在的共性问题解决，找出他们的盲点，同时加强练*力度。从练*中发现问题，再利用晚自*系统讲解，直到绝大部分学生理解掌握为止。

　　变量与函数评课稿 2

　　这节课主要让学生理解并掌握不等式的定义，不等式的解，不等式的解集，解不等式的意义，会把解集在数轴上表示出来。以学生课外预*为前提开展教学的。

　　课本中的实际问题情境创设，都是由学生课外自学来完成，从而给予学生更多的学*思考时间，研究这些问题，可以使学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型。教学中要突出知识之间的内在联系。不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型。在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出一元一次不等式、不等式的解与解集的意义。引导学生类比等式及方程的有关知识，于知识的迁移过程中较好地体悟所学的内容。学生数学语言概括能力，互助学*，合作学*的能力得到提高，数形结合思想渗透较好

　　教学过程也是学生的认知过程，只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果。因此，本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程。这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的`过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使学生真正成为学*的主体。

　　但是，课后及作业中出现以下错误

　　1、不大于，不小于，弄不清楚；

　　2、用不等式表示某些语句，个别学生读不懂题意；

　　3、用不等式解决简单的实际问题，出现错误较多；

　　4、不能较好的运用所学知识解决相关问题。

　　5、一些解题中的细节要注意，例如用数轴来表示解集时，折线向左向右学生没有真正是什么意思，什么时候用实心圆点还是空心圆圈没有区别等等。

　　6、课堂教学时间，多听学生讲出他们自己的的理解和解题思路，有利于培养学生的数学语言表达能力。

　　今后教学中，要注重基础知识的学*，满足学生多样化的学*需求的同时，注意学生各方面能力的培养和学**惯的培养。

　　变量与函数评课稿 3

　　本节课主要学*反比例函数，为了让学生更加容易接受新的知识，我首先简单复*了一次函数、正比例函数的表达式，目的是想让学生清楚每种函数都有其特有的表达与以前我们所学的y=kx+b和y=kx有什么联系时，居然有很多同学认为它们和正比例函数类似，当时在课堂上对于这个问题的处理过于仓促，现在想来应注意细节问题。利用题组（二）对反比例函数的三种表示方法进行巩固和熟悉。

　　例题非常简单，在例题的处理上我注重了学生解题步骤的培养，同时通过两次变式进一步巩固解法，并拓宽了学生的思路。在变式训练之后，我又补充了一个综合性题目的例题，（在上学期曾有过类似问题的,由于时间的久远学生不是很熟悉）但在补充例题的处理上点拨不到位，导致这个问题的`解决有点走弯路。

　　虽然在题目的设计和教学设计上我注重了由浅入深的梯度，但有些问题的处理方式不是恰到好处，有的学生课堂表现不活跃，这也说明老师没有调动起所有学生的学*积极性。总之，我会在以后的教学中注意细节问题的。

　　变量与函数评课稿 4

　　《正比例函数》是中学教学中非常重要的内容，是学生第一次学*数形结合，正比例函数是一次函数的特例，是学生第一次涉及到一个具体的函数的学*和研究，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，是后面学*一次函数的基础。

　　本节课中，我收集了生活中的`一些实际应用的例子，引导学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。

　　在教师的情景诱导下使学生快速进入到本节课内容当中，通过问题式的探究，使学生自己研究和小组的探索、讨论来解决问题，再通过学生的展示、教师的点拨、总结进行知识归纳，然后老师再出变式练*，检测学生在本节课还有哪些方面的问题，以及使学生能力得到进一步提升。最后让学生总结本节课学到了什么，还有那些困惑。整堂课学生发现，探索，质疑，实践，归纳，练*，环环相扣，严谨有序，通过练*检测学生学*情况，效果良好。不足之处教师讲解引导多，没有真正把课堂给学生。

　　变量与函数评课稿 5

　　通过《变量与函数》的教学，本人对概念课的教学设计与教学实践有了更深入的了解

　　本设计呈现的课堂结构为：

　　（１）揭示学*目标；

　　（２）引入数学原型；

　　（３）抽象出数学现实，逐步达致数学形式化的概念；

　　（４）巩固概念练*（概念辨析）；

　　（５）小结（质疑）

　　一、如何揭示学*目标

　　概念课的引入要考虑学生关心的如下问题：这节课学什么概念？为什么要学这样的概念？数学源于生活而高于生活，数学概念的引入可从生活的需要、数学的需要等方面引入．初中涉及的函数概念的核心是“量与量之间的特殊对应关系”．本课中，本人在导言中提出两个问题：“引例1，《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？”、“引例2，我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？”学生对上述问题既熟悉又感到意外．问题1涉及两个量的关系，脚印确定，对应的身高有多个取值；问题2涉及多个量的关系．上述问题，不仅仅是引起学生的注意，更重要的是让学生了解客观世界中量与量之间联系的多样性、复杂性，而函数研究的正是量与量之间的各种关系中的“特殊关系”．数学研究有时从最简单、特殊的情况入手，化繁为简．让学生明确，这一节课我们只研究两个量之间的特殊对应关系．“特殊在什么地方？”学生需带着这样的问题开始这一课的学*．概念的引入应具有“整体观”，不仅要提供符合函数原型的单值对应的实例，还应提供其他的量与量之间关系的实例（如多个量的对应关系、两个量间的“一对多”关系等），使学生在更广泛的背景中经历筛选、提炼出新的数学知识的过程，逐步领悟“化繁为简”的数学研究方法．当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容。

　　二、如何选取合适的数学原型

　　从数学的“学术形态”看，数学原型所蕴藏的数学素材应与数学概念的内涵相一致；从数学的“教育形态”看，数学原型应真实、简洁、简单．真实指的是基于学生的生活现实、数学现实，它可以是生活中的实例，也可以是学生熟悉的动漫故事、童话故事等．简洁、简单指的是问题的表述应简洁，问题情境的设置要尽可能简单，全体学生对情境中的问题不应存在太大的理解困难,设计的问题情境要能突出将要学*的新知识的本质．本设计采用了三个数学原型的问题：问题1，“票房收入与售出票数问题”（可用解析式表示）；问题２，成绩登记表中的一次数学测试的“成绩与学号问题”（表格表示）；问题3，“气温变化与时间问题”（图象表示）．这三个问题从不同层面、不同角度体现函数的“单值对应关系”，也都是学生生活中的真实问题，问题简单易懂，学生容易基于上述生活实例抽象出新的数学概念．由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学*，故本节课没有采用该引例。对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象．过难、过繁的背景会成为学生学*抽象新概念的拦路虎。

　　三、如何引领学生经历数学化、形式化的过程

　　“数学教学是数学活动的教学”，面对抽象的数学内容，老师会想方设法创设易于学生理解的数学情境．但如何从具体的实例中提炼出数学的素材、形式化为数学知识是教学的关键环节．从具体情境到数学知识的形式化，需要教师为学生搭建合适的“脚手架”，提出能引发学生思考、过渡到数学形式化的问题．本人在学生完成问题情境的几个问题后，提出系列问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量的变化会引会另一个量的变化？

　　通过哪一个量可以确定另一个量？”在与学生的交流过程中把重点内容板书，板书注重揭示两个量间的关系，引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量．由问题1~3的共性“单值对应关系”与“脚印与身高”问题中反映的“一对多关系”进行对比抽象出函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义，并理解概念的本质特征。

　　四、如何引用反例

　　学生对概念的理解需要经历一个从模糊到清晰的过程，通过正例与反例的`对照，才能准确理解概念的内涵．反例引用的时机、反例的量要恰到好处．过早、过多的反例会干扰学生对概念的准确理解．概念生成的前期提供的各种量的关系中的实例提供的是一个更为广泛的背景，让学生经历从各种关系中抽象出“特殊的单值对应关系”，从而体会产生函数概念的背景．这样的引入有利于避免概念教学中“一个定义，三点注意”的倾向。

　　在备课时，我想从“气温问题”中的函数图象引导学生发现时间t取定一个值时，所得T的对应值只有一个,学生*惯性地提出问题“温度T取定一个值时，时间t是否唯一确定？”全体同学从正反两个方面认识“唯一确定”的含义，在这样的基础上再归纳出函数的定义，学生较好地掌握函数中的单值对应关系．而在（2）班实际上课时，在概念的形成前期，忙中出漏，没有抓住“气温问题”中的函数图象讲解“唯一确定”，特别是没有从反面（温度T=8，时间t=12~14）帮助学生理解“唯一性”，也没有强化“脚印与身高”反映的“一对多关系”，只在涉及“单值对应关系”的实例基础上引出概念，也跳过后面提到的三个反例，学生在后面的概念辨析练*中错漏较多，为纠正学生的理解花了九牛二虎之力。

　　后来在（1）班上课时，在完成例1、例２的教学后，还用到如下反例：问题２变式“在这次数学测试中，成绩是学号的函数吗？”、问题３变式“北京春季某一天的时间t是气温Ｔ的函数吗？”、练*2（３）变式“汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，t是s的函数吗？”，学生借助这三个逆向变式，根据生活经验理解“两个量间的对应关系”是否为“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要的是让学生养成逆向思维的*惯。