随着时代的进步，科学技术正在飞速发展，它正以极强的渗透力和影响力融入我们日常生活中的每个角落。而数学又是其重要的基石。现在，越来越多的人认识到了数学这门基础学科的重要性和数学本身所蕴含的抽象美。《要命的数学》这本书就很好地诠释了数学的魅力。
这本书分别介绍、阐述了一系列数学的数字、概念、处理方法及规律，具体来说：首先介绍了*数字的发明，解决了人们生活中的各种难题。接着是时间的计量，因为时间是看不见，摸不着的怎么来计量他呢?人们于是找到了各种方法来计时，如"天"、"年"的划分和计时器的出现等。再就是人们对角度的认识以及对角度的计量，解决了许多人们不敢想象的难题：炮弹及火箭的发射，就要求有精确的角度与速度。还有，对于大数据的处理，有些事情似乎难以找到一个确切的数目来形容，如果真用准确的数字来描绘它，又让人觉得很奇怪---这就是大数目。而在处理它们时，人们又常用四舍五入以及幂的形式，等等。
这本书不仅趣味性地介绍了数学的基本知识，并把许多数学符号的含义展示给了我们。开拓了我的思维，也让我在学*数学规律的过程中学到了生活的美和真。如果大家有时间一定要读读这本书!
随着时代的进步，科学技术正在飞速发展，它正以极强的渗透力和影响力融入我们日常生活中的每个角落。而数学又是其重要的基石。现在，越来越多的人认识到了数学这门基础学科的重要性和数学本身所蕴含的抽象美。《要命的数学》这本书就很好地诠释了数学的魅力。
这本书分别介绍、阐述了一系列数学的数字、概念、处理方法及规律，具体来说：首先介绍了*数字的发明，解决了人们生活中的各种难题。接着是时间的计量，因为时间是看不见，摸不着的怎么来计量他呢?人们于是找到了各种方法来计时，如"天"、"年"的划分和计时器的出现等。再就是人们对角度的认识以及对角度的计量，解决了许多人们不敢想象的难题：炮弹及火箭的发射，就要求有精确的角度与速度。还有，对于大数据的处理，有些事情似乎难以找到一个确切的数目来形容，如果真用准确的数字来描绘它，又让人觉得很奇怪——这就是大数目。而在处理它们时，人们又常用四舍五入以及幂的形式，等等。
这本书不仅趣味性地介绍了数学的基本知识，并把许多数学符号的含义展示给了我们。开拓了我的思维，也让我在学*数学规律的过程中学到了生活的美和真。如果大家有时间一定要读读这本书!
这个“五一”假期里，我把《特别要命的数学》这本书读了一遍，这本书里提到了很多数学问题，
比如说水池问题啦，单面纸啦，镜子数啦，都非常有趣。
这本书中，镜子数让我很感兴趣。它也叫“数的回方结构”，比如1234321，就是说，不管你顺着写还是逆着写，写出来的都是同一个数。而且，还可以用一种奇特的方法得到这种镜子数，取一个两位数，加上这个数前后位交换后的数，如此重复，就会得到一个镜子数啦。比如56，56+65=121，121就是一个镜子数了。
此外，单面纸也很神奇。把纸条首尾连接，粘之前把纸条扭一下，做成一个纸环。再用笔在纸的中间画一条封闭的线吗》，你会发现，尽管你没有翻转纸，但是纸的两面都有了线！我也试着做了一下，真的是这样的呢！因为把纸扭一下会把纸的两面都连在一起。
这本书里还有许多这样有趣的小知识，可以做做实验呢。
数学是奇妙的，这些数学的小知识让我更喜爱数学，回过头再一次品味，也令人开怀一笑，这本书真神奇吖！
——《要命的数学》的读后感 (菁华3篇)
寒假里，我读了一本好书，名字叫《要命的数学》。它包含了"两文"和"两学"——中文和英文、数学和科学。一开始，我就很喜欢这本书，因为它的书名很特别。正是这一股强烈的好奇心驱使我翻开了这本书……
没想到一读才发现：这本书还真好看!它不仅蕴含了许多数学小窍门，使我遨游在知识的海洋之中;还在其中添加了许多幽默的文笔，让我时不时地捧腹大笑。这本书讲述了一个又一个短小而精彩、刺激的故事。有这样一个故事——1927年4月的一天晚上，美国芝加哥上主街的一家饭馆里，美国最大的两个头目不会数学，但又不愿意对半分付饭钱，就跟对方打了一架，死伤惨重。瞧，数学会"要人命"吧。
当然，这本书还帮助我学会了一些计算的方法，如：怎样快速计算大数、如何解决一些奥数题，这些方法都令我受益匪浅。它还交会了我很多解题技巧，都能让我在最短的时间内把题做对。不仅如此，这本书还教会了我几个有趣的小魔术，并作了详细的讲解。通过这本书，我明白了一个道理：学数学，如果光背定律，是无法取得好成绩的。想要学好数学，一定要灵活运用学到的知识，只会死搬硬套，是不可能学好数学的。相反，只有举一反三，思维开阔，才能真正学好数学。
其实，做什么事情都要这样，单单靠一种办法是不行的。有时需要我们发散思维，多开动脑筋，多想出几种办法来，打破传统，从不同的方法中选择其中最有效的一种，达到最佳效果。写作文也是如此。要是光靠死记原来的写作原理，曹雪芹就不可写出四大名著之首的《红楼梦》。鲁迅先生曾经说过，《红楼梦》把历年以来的所有传统方法都打破了。
我喜欢这本书，它带给我的不只是学好数学的办法，更给予了我学*其他知识和做人、做事的一些理念。
随着时代的进步，科学技术正在飞速发展，它正以极强的渗透力和影响力融入我们日常生活中的每个角落。而数学又是其重要的基石。现在，越来越多的人认识到了数学这门基础学科的重要性和数学本身所蕴含的抽象美。《要命的数学》这本书就很好地诠释了数学的魅力。
这本书分别介绍、阐述了一系列数学的数字、概念、处理方法及规律，具体来说：首先介绍了*数字的发明，解决了人们生活中的各种难题。接着是时间的计量，因为时间是看不见，摸不着的怎么来计量他呢?人们于是找到了各种方法来计时，如"天"、"年"的划分和计时器的出现等。再就是人们对角度的认识以及对角度的计量，解决了许多人们不敢想象的难题：炮弹及火箭的发射，就要求有精确的角度与速度。还有，对于大数据的处理，有些事情似乎难以找到一个确切的数目来形容，如果真用准确的数字来描绘它，又让人觉得很奇怪---这就是大数目。而在处理它们时，人们又常用四舍五入以及幂的形式，等等。
这本书不仅趣味性地介绍了数学的基本知识，并把许多数学符号的含义展示给了我们。开拓了我的思维，也让我在学*数学规律的过程中学到了生活的美和真。如果大家有时间一定要读读这本书!
阅读了《特别要命的数学》这本书，我忽然发现，数学真奇妙！
这本书以有趣的漫画愉悦我们这些读者的心情，以详细的文字说明和精彩的小故事把我们带入了一个有趣的数学世界。
比如，《有趣的魔方》里，几何老师芬迪教授告诉我们，骨牌有许多类型，也能拼成许多形状。再比如，《水池问题》里的三个不同的问题：买护栏、买地砖和买优质池水。它告诉我们这三个问题要有不同的'条件才能买到合适这个水池的材料。我最喜欢那篇关于三维世界的解释文。里面说，二维世界的人能看见一维世界的人；三维世界的人能看见二维世界的人。同样，生活中竟然有能看到我们（三维世界的人）的四维世界的人！我感到不可思议，也感叹数学的奇妙。
数学是奇妙的，它的一些秘密我们人类也许还不知道。虽然如此，但这本书已经带我领略了部分数学的奥秘。我很开心，因为我第一次那么喜欢数学。我甚至开始研究数学。我一口气将这本有趣的书看完了，回过头来又一次品味了，发现之前还有一些小知识没有发现。
这本书让我更喜爱数学了。爱它的奇妙；爱它的有趣；更爱它带给我的快乐！我现在有了一个新的阅读目标，那就是凑足够的钱去把关于数学的书都买过来。一是为了培养我对数学的兴趣；二是让我能在功课的困扰下为有趣的数学开怀一笑！
数学真奇妙！
——《什么是数学》读后感 (菁华3篇)
《什么是数学》——“对思想和方法的基本研究”是由美国R·柯朗、H·罗宾合著。
在序言里有这样两段话：一是数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间，它的意义不在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中;对于喜欢数理概念的哲学家，这可能是个问题，但确是数学的巨大力量所在——我们称它为所谓的“非现实的现实性”。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。
二是有意义的数学就像用来讲述有趣故事的报纸杂志，但不像某些报纸杂志，它的故事必须是真实的，最好的数学就应该像文学作品，故事来源于你眼前活生生的生活，这使你把精力与感情投入投于其中。
由这两段话，我就联想到了我们正在研究的“生活课堂”。我们企图让我们的课堂与现实的生活世界相沟通，让课堂的内容与学生的已有生活经历相融通。这样无疑就让我们的课堂更加的具有生命的底色和生活的发展力。如果我们的数学课仅仅是解题课，仅仅是空洞的演算和推理，它是没有很强的生命力的。如果脱离了与现实世界的关联，这样的数学只是一门工具，是冰冷的没有温度的，没有生命力的。
而如何实现这两个关联和融通，这是我们所有老师尤其是数学老师要思考和解决的问题。我希冀从这本书中找到一些答案。
文章第五页有这样一段话:幸运的是，创造性的思维不过某些教条的哲学信仰而继续发展着，而如果思维屈从于这种信仰就会阻碍出现建设性的成就。不论对专家来说，还是对普通人来说，唯一能回答什么是数学这个问题的不是哲学，而是数学本身中的活生生的经验。
由此可见，数学来源于生活并高于生活，数学是对现实生活的抽象和高度的概括，数学是对生活中的一些现象和规律所进行的归纳和统整。因此而言，生活就是土地，而数学是在这片土地的滋养下开出的一株鲜花，或长出的一棵参天大树。数学的发展必须需要现实生活的滋养，才能获得源源不断的养料。所以说生活就是数学的源头活水，我们的“生活课堂”研究必须要认真地联系生活，与现实社会的发展紧密相关，我们的课堂才真正的具有生命力和不断的活力。这也是我们今后研究和努力的方向。
由柯朗与罗宾合著的《什么是数学》是一本世界数学名著。初版已过60年，曾有中译本由两家出版社在约20年前出版过。可喜的是，1996年牛津大学出版社又出了增订版，*期复旦大学出版社推出了该版的中文译本。
作为20世纪的杰出数学家，柯朗曾在当时的数学圣地———德国格丁根大学师从希尔伯特等数学巨匠。纳粹上台后，他来到美国，创办了举世闻名的柯朗研究所。关于柯朗，瑞德有一本传记《一位数学家的双城记》在我国翻译出版，里头有柯朗和同时代数学家的许多故事。单单翻翻书中的照片，当时优秀知识分子的集体形象伴随着如雷贯耳的名字跃入眼帘，足以令我们这些后辈学子仰慕不已。有意思的是，格丁根那些令人生畏的数学泰斗们，都写过精彩的数学普及读物，如希尔伯特的《直观几何》、克莱因的《高观点下的初等数学》、外尔的《对称》以及柯朗的《什么是数学》。这些作品的共同特点是高屋建瓴、厚积薄发。
阿贝尔曾经说过，要向大师学*，而不是向大师的门徒学*。因为大师们可以引领你快速地进入正道。
《什么是数学》一出版就得到了各方面的高度评价。爱因斯坦认为，这本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻而清晰的阐述”。外尔和莫尔斯等数学大师也对之赞誉有加。《*》也肯花版面予以介绍。
单单从书名来看，这本书的内容、体裁有多种选择（选择太宽，有时既是自由也是难题），比方说，这本书既可以写成低幼读物，也可以是大块头的专著（类似闻名遐迩的布尔巴基《数学原本》之类）。柯朗选择的体裁大致就是今天所说的“高级科普”。高级科普的创作难度不在于知识的专深，而在于如何保持作者与广大读者之间必要的亲和力。它既要充分体现作者自身的想法，又要兼顾那些并非专家的读者。这方面失败和成功的例子都很多。而流传几十年而不衰、今天还要请数学科普名家斯图尔特增订这一事实，就已经证明了《什么是数学》注定是一本成功的经典名著。也许将来还会有个斯图尔特2来增订哩！写到这里，笔者在想，论文的价值在于引用率，那么科普著作的生命力是否在于它出修订或增订版呢？也许这是一个不错的指标。
除了体裁，柯朗还要面对另一个难题。20世纪的数学已经发展到了让人望洋兴叹的地步，如何在一本可以带出去郊游时随便翻翻的作品中，把这门异常发达的学科的面貌体现在读者面前呢？柯朗的做法是搜集很多数学上的“珍品”，每个方面的讲述并非深不见底，但也不是蜻蜓点水。适当地深入，然后在该结束的时候结束。这种既非盲人摸象、亦非解剖大象的方法，可以让普通读者也能粗略领悟到数学无比精巧的结构之美。这大概也是遵从了希尔伯特所倡导的数学作为一个有机整体的思想。
柯朗为这本书煞有其事地添加了副标题———“对思想和方法的基本研究”。所谓“研究”何以谈起呢？斯图尔特为我们作了揭示。原来，在相对浅显的字里行间，渗透着这样的思想骨架，即数学的`学科性。这种学科性并非某些人的自由创造，为抽象而抽象;但也不是完全从实物出发，尽管数学在现实生活中用途广泛。数学就跟植物学或天文学一样，学科性固有的“节律”促使它向前发展，而我们的职责是履行这种学科性。比如植物学家发现一个新物种、天文学家发现一颗新的恒星，就要记录下来，不记录才是不称职。如果碰巧这一新物种对人类战胜癌魔具有重大意义，那么这个植物学家保不定会得诺贝尔奖;如果这种植物对于人类没什么用处，植物学家可能顶多在百科全书中简略提及。而一开始就质问这种知识到底有没有实用价值，那就背离了学科固有的原则，乃是彻头彻尾的无知和错误。什么是有价值的，什么是价值不大的，什么该淘汰，这应由历史而不是人为决定。希尔伯特尽管谨慎地提出了23个问题，但他也同时警告说，预先去判断一个问题的价值往往是不可能的。现在看来，这些问题中有一部分之价值在数学发展史上确实没有当初想像的那么大。庞加莱说过，“要想预见数学的未来，适当的途径是研究它的历史与现状。”《什么是数学》选择了一些有价值的领域，这些领域都是发展成熟的，并且也是引人入胜的。
《什么是数学》的内容错落有致，层次分明。数学的三大版块———代数、几何和分析按章依次加以阐述。作者也注意到不同章节适当的衔接。全书从自然数谈起，然后引申到数论和数系的扩充，直到集合这个最一般的客体。第三章又转入几何作图，并与数域代数联系在一起。接下来的两章，作者从射影几何、非欧几何一直谈到拓扑学。最后三章重点阐述微积分及其应用。
数学或相关学科的重大问题，一直是发展数学理论的源泉和刺激。问题的重要性不在于难易程度，也不在于是否“高等”。通过穿插书中的一个个问题，我们可以看出活生生的数学研究过程。就拿解代数方程来说吧。由于提升了次数，便与几何作图联系起来，最终的发现是丰厚的：一是复数和代数基本定理的提出;二是群论的发明。另一方面，提升方程的元数，则导致矩阵、线性空间的概念，最终与群也有关系。单单一个解方程就搞出那么多名堂！
微积分是一个与代数方程有较大差异的领域，亦始终由一些有趣问题而触发。这些问题更多地来自物理，最著名的是最速降线、三体问题和关于肥皂膜张成极小曲面的普拉托问题;也有纯数学问题，如四色问题。这些表面上看起来毫不相干的问题，使得数学家将微积分拓展到微分方程、变分法、拓扑学和微分动力系统等重要分支。作者还加入了不少著名的“初等极值问题”，如等周问题、光路三角形、最短网络等。不仅增加了可读性，而且强调了这些历史名题对数学发展不可磨灭的功勋。
问题的提出是为了解决问题和提出新问题，最终目的不是炫耀自己的解题本领，而是强化理论武器，达到更高的境界和更广的视野。所以数学家不是工程师，整部数学史是数学家找问题，而不是问题找数学家。工程师、医师总希望问题少点好，而数学家恰恰相反。书中对问题背后新概念的把握可谓丝丝入扣，读来经常有得到“提升”的感觉。几个世纪以来，数学家把零零碎碎的问题在根子上寻找统一的努力，无疑树立了人类理性的伟大里程碑。
当然，柯朗没有看到数学的一些激动人心的新进展，如费马大定理、四色问题的证明，以及素数问题、纽结、分形和连续统假设等。这一切都由斯图尔特在第9章“最新进展”中做了精要而出色的介绍。
本书的参考文献也做得相当好，推荐阅读书目肯定花费了作者很多心思。这也是一本好的科普书的特征。
好作品要让读者常读常新。例如《西游记》，比起那些佛教典籍，太容易读懂了，但好玩的故事和浅显的文字背后，其思想上的玄妙实在不是一语、一人可以道破、穷尽的，故而历来评论绵绵不断;即便是普通读者，碰到一些社会现象，与小说中的情节做些类比，也有新的感悟。那么科学著作能否也达到同样的功效呢？至少，《什么是数学》这本书是做到了。
今天，我们将从一系列公理开始，从自然数的产生一直说到实数理论的完善。你或许会对数学的“科学性”有一个新的认识。注意，本文的很大一部分内容并非直接来源《什么是数学》，这篇文章可以看作是《什么是数学》中有关章节的一个扩展。
自然数是数学界中最自然的数，它用来描述物体的个数，再抽象一些就是集合的元素个数。在人类文明的最早期，人们就已经很自然地用到了自然数。可以说，自然数是天然产生的，其余的一切都是从自然数出发慢慢扩展演变出来的。数学家Kronecker曾说过，上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)
随着一些数学理论的发展，我们迫切地希望对自然数本身有一个数学描述。从逻辑上看，到底什么是自然数呢?历史上对自然数的数学描述有过很多的尝试。数学家Giuseppe Peano提出了一系列用于构造自然数算术体系的公理，称为Peano公理。Peano公理认为，自然数是一堆满足以下五个条件的符号：
1. 0是一个自然数;
2.每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a);
3.不存在后继为0的自然数;
4.不同的自然数有不同的后继。即若a≠b，则S(a)≠S(b);
5.如果一个自然数集合S包含0，并且集合中每一个数的后继仍在集合S中，则所有自然数都在集合S中。(这保证了数学归纳法的正确性)
形象地说，这五条公理规定了自然数是一个以0开头的单向有序链表。
自然数的加法和乘法可以简单地使用递归的方法来定义，即对任意一个自然数a，有：
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
a · 0 = 0
a · S(b) = a + (a·b)
其它运算可以借助加法和乘法来定义。例如，减法就是加法的逆运算，除法就是乘法的逆运算，“a≤b”的意思就是存在一个自然数c使得a+c=b。交换律、结合率和分配率这几个基本性质也可以从上面的定义出发推导出来。
Peano公理提出后，多数人认为这足以定义出自然数的运算，但Poincaré等人却开始质疑Peano算术体系的相容性：是否有可能从这些定义出发，经过一系列严格的数学推导，最后得出0=1之类的荒谬结论?如果一系列公理可以推导出两个互相矛盾的命题，我们就说这个公理体系是不相容的。Hilbert的23个问题中的第二个问题就是问，能否证明Peano算术体系是相容的。这个问题至今仍有争议。
在数学发展史上，引进负数的概念是一个重大的突破。我们希望当a
(a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d)
(a-b) · (c-d) = (ac + bd) – (ad + bc)
我们可以非常自然地把上面的规则扩展到a=b，符号(a-b)描述的是一个自然数;如果a
生活中遇到的另一个问题就是“不够分”、“不够除”一类的情况。三个人分六个饼，一个人两个饼;但要是三个人分五个饼咋办?此时，一种存在于两个相邻整数之间的数不可避免的产生了。为了更好地表述这种问题，我们用一个符号a/b来表示b个单位的消费者均分a个单位的物资。真正对数学发展起到决定性作用的一个步骤是把由两个数构成的符号a/b当成一个数来看待，并且定义一套它所服从的运算规则。借助“分饼”这类生活经验，我们可以看出，对于整数a, b, c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。为了让新的数能够用于度量长度、体积、质量，这种定义是必要的。但在数学历史上，数学家们经过了很长的时间才意识到：从逻辑上看，新的符号的运算规则只是我们的定义，它是不能被“证明”的，没有任何理由要求我们必须这么做。正如我们定义0的阶乘是1一样，这么做仅仅是为了让排列数A(n,n)仍然有意义并且符合原有的运算法则，但我们绝对不能“证明”出0!=1来。事实上，我们完全可以定义(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)，它仍然满足基本的算术规律;虽然在我们看来，这种定义所导出的结果非常之荒谬，但没有任何规定强制我们不能这么定义。只要与原来的公理和定义没有冲突，这种定义也是允许的，它不过是一个不适用于度量这个世界的绝大多数物理量的、不被我们熟知和使用的、另一种新的算术体系罢了。
我们称所有形如a/b的数叫做有理数。有理数的出现让整个数系变得更加完整，四则运算在有理数的范围内是“封闭”的了，也就是说有理数与有理数之间加、减、乘、除的结果还是有理数，可以没有限制地进行下去。从这一角度来看，我们似乎不大可能再得到一个“在有理数之外”的数了。
当我们的数系扩展到有理数时，整个数系还出现了一个本质上的变化，这使我们更加相信数系的扩展已经到头了。我们说，有理数在数轴上是“稠密”的，任何两个有理数之间都有其它的有理数(比如它们俩的算术*均值)。事实上，在数轴上不管多么小的一段区间内，我们总能找到一个有理数(分母m足够大时，总有一个时刻1/m要比区间长度小，此时该区间内至少会出现一个分母为m的有理数)。这就使得人们会理所当然地认为，有理数已经完整地覆盖了整个数轴，所有的数都可以表示成a/b的形式。
难以置信的是，这样的数竟然不能覆盖整个数轴;除了形如a/b的数以外，数轴上竟然还有其它的数!这是早期希腊数学最重要的发现之一。那时，古希腊人证明了，不存在一个数a/b，使得其*方恰好等于2。*方之后等于2的数不是没有(可以用二分法找出这个数)，只是它不能表示成两个整数之比罢了。用现在的话说就是，根号2不是有理数。你可以在这里看到至少5种证明根号2不能表示成整数与整数之比的方法。根号2这种数并不是凭空想象出来的没有实际意义的数，从几何上看它等于单位正方形的对角线长。我们现有的数竟然无法表达出单位正方形的对角线长这样一个简单的物理量!因此，我们有必要把我们的数系再次进行扩展，使其能够包含所有可能出现的量。我们把所有能写成整数或整数之比的数叫做“有理数”，而数轴上其它的数就叫做“无理数”。它们合在一起就是“实数”，代表了数轴上的每一个点。
其实，构造一个无理数远没有那么复杂。我们可以非常轻易地构造出一个无理数，从而说明无理数的存在性。把所有自然数串起来写在一起所得到的Champernowne常数0.12345678910111213141516…显然是个无理数。考虑用试除法把有理数展开成小数形式的过程，由于余数的值只有有限多种情况，某个时刻除出来的余数必然会与前面重复，因此其结果必然是一个循环小数;而Champernowne常数显然不是一个循环小数(不管你宣称它的循环节是什么，我都可以构造一个充分长的数字串，使得你的循环节中的某个数字根本没在串中出现，并且显然这个串将在Champernowne常数中出现无穷多次)。这个例子说明，数轴上还存在有大量的无理数，带根号的数只占无理数中微不足道的一部分。这个例子还告诉我们，不是所有的无理数都像pi一样可以用来测试人的记忆力和Geek程度。
在定义无理数的运算法则中，我们再次遇到了本文开头介绍自然数时所面临的问题：究竟什么是无理数?无理数的运算该如何定义?长期以来，数学家们一直受到这个问题的困惑。19世纪中期，德国数学家Richard Dedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定义了无理数的运算，使实数理论得到了进一步的完善。
在此之前，我们一直是用有序数对来定义一种新的数，并定义出有序数对之间的等价关系和运算法则。但Champernowne常数这种让人无语的无理数的存在使得这种方法能继续用于无理数的定义的希望变得相当渺茫。Dedekind不是用两个或多个有理数的数组来定义无理数，而是用全体有理数的一个分割来定义无理数。我们把全体有理数分成两个集合A和B，使得A中的每一个元素都比B中的所有元素小。显然，满足这个条件的有理数分割有且仅有以下三种情况：
1. A中有一个最大的元素a。例如，定义A是所有小于等于1的有理数，B是所有大于1的有理数。
2. B中有一个最小的元素b。例如，定义A是所有小于1的有理数，B是所有大于等于1的有理数。
3. A中没有最大的元素，且B中没有最小的元素。例如，A由0、所有负有理数和所有*方后小于2的正有理数组成，B由所有*方后大于2的正有理数组成。每一次出现这种情况，我们就说这个分割描述了一个无理数。
注意，“A中有最大元素a且B中有最小元素b”这一情况是不可能出现的，这将违背有理数的稠密性。a和b都是有理数，它们之间一定存在其它的有理数，而这些有理数既不属于集合A，也不属于集合B，因此不是一个分割。
为什么每一种情况3都描述了一个确定的无理数呢?其实这非常的形象。由于A里面没有最大的元素，因此我们可以永不停息地从A里面取出越来越大的数;同样地，我们也可以不断从B里面取出越来越小的数。这两边的数将越来越靠*，它们中间夹着的那段区间将越来越小，其极限就是数轴上的一个确定的点，这个点大于所有A里的数且小于所有B里的数。但集合A和B已经包含了所有的有理数，因此这个极限一定是一个无理数。因此从本质上看，Dedekind分割的实质就是用一系列的有理数来逼*某个无理数。
你也许想到了，现在我们可以很自然地定义出无理数的运算。我们把一个无理数所对应的Dedekind分割记作(A,B)，则两个无理数(A,B)和(C,D)相加的结果就是(P,Q)，其中集合P中的元素是由A中的每个元素与C中的每个元素相加而得到，余下的有理数则都属于集合Q。我们也可以用类似的办法定义出无理数的乘法。另外，我们能够很快地验证，引入无理数后我们的运算仍然满足交换律、结合率等基本规律，这里就不再多讲了。
——《快乐数学》读后感 (菁华3篇)
我从今年订阅了《快乐数学》杂志，这套杂志特别好看，特别有趣！特别是书里的“漫画乐园”和“幽默卡通车”这两部分！
我最*所看的漫画内容讲的是“空中飞人”，说的是高伯利金教授发明了飞行丸，让太阳村的人飞上了蓝天，但是教授也让动物飞了起来，这给人类的生活造成了很大的麻烦。教授决定解决这个麻烦，于是发明了药粉来溶解飞行丸的药性，在杰米的帮助下让太阳村的人和动物吃下药粉，溶解了他们胃里的飞行丸，于是他们就都飞不起来了！
但是新的问题又出现了，太阳村的人们由于无法再飞行，变得有气无力。这个时候高伯利金教授和杰米决定再去帮助太阳村的人，他们打算去发明新的飞行丸，发明一种不仅能够解决人们困扰而又使人们飞行的飞行丸。但是当他们要去研制新的飞行丸的时候，发现原来的飞行丸配方已经被老鼠咬碎了，没有了原来的配方就无法研制飞行丸了，从此太阳村的`人再也无法飞行了。
看完这一期漫画，我明白了不能随意改变人类和动物的生存法则。曾经英国有位科学家想知道人类与动物能否离开生存的大自然，而独立生活在一个指定范围内。于是他划分十公顷的土地，将动植物养在这十公顷地里，又邀请五个家庭加入他的计划，刚开始动物、植物、人们和谐相处，但是逐渐有的家庭成员患病，有的动物死亡，有的植物枯萎。这位科学家由此明白，人类、植物、动物、无论哪一物种都离不开赖以生存的大自然！
因此人类作为最高等的生物，不能随意改变我们赖以生存的环境，更不能破坏大自然！我喜欢看这套杂志，它愉悦我身心的同时，又让我学到了知识！
生活是数学学*的重要资源。著名数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之需，无处不用数学。”读《快乐数学》我总结了一下几点：
一、教学课堂因游戏而“活”。
传统的教育方法显然不能培养幼儿的创新思维和能力，只有通过发现式、启发式、讨论式等先进的教学方法，才能调动幼儿的主动性、自觉性。教育学认为：快乐教育活动强调的是孩子的主体实践和亲身体验，要求的是孩子主动参与、自主活动，气氛充满活力，让孩子在快乐中学会学*，学会生活。激发幼儿的想象力和思维力，多采用启发、引导、积极参与等方法，指导幼儿勇敢大胆地探究问题。培养幼儿发现问题、分析问题、解决问题的勇气和能力，应从幼儿园实际出发，根据数学教学中的不同内容、不同教学目标、幼儿的个性差异，选择一种或几种最优的教学方法，综合加以运用，灵活多变。
二、努力寻找幼儿生活中的数学教育现象，作为数学教育的题材。
例如，老师、小朋友身上服饰的颜色、图案，周围物体的形状、大小、多少，人与人之间的高矮，手指的长短、粗细等都能潜移默化孩子的感性认识，并通过活动上升为理性的认识。又如在幼儿用书《快乐数字》中寻找幼儿生活中所熟悉的日历、时钟、邮票、图书、衣服、电话机、遥控器、针筒等物品，让幼儿在找找、玩玩、说说中发现生活中有趣的数字现象，并通过想象讲述，如果生活中没有数字会怎么样？让幼儿带着问题寻找生活中的数字，说说它的用途，从而使幼儿在生活中常用一双会发现的眼睛，去不断获得新的经验。
三、把数学教育内容生活化、游戏化。
1、将数学渗透在生活中
让幼儿在生活中学*，在学*中生活，让学*服务生活、提高生活质量。我在小班开展《认识图形》的系列活动中就充分挖掘周围存在的各种颜色、图形，墙上的各种图形及图形组合，通过让幼儿用不同颜色、不同形状的“砖头”辅路，用各种颜色、形状的亮光纸装饰墙壁，给小动物喂饼干等游戏化的活动形式，让幼儿在轻松愉快的气氛中主动学*，巩固对图形及图形组合的认识。又如《按物体的长短、大小排列》的活动，让幼儿在愉快吃点心的过程中，自然地比较饼干的长短，并按长短进行排序；布置“小鱼吹泡泡”的墙饰，让幼儿喝完一杯水，就在自己做的小鱼嘴边有规律地贴上一个“图片”，今天喝了几杯水，小鱼嘴边就多几个泡泡。以前孩子在园都懒得喝水，家长和老师都很担心这种炎热的天气不喝水是不行的。
通过该活动，不爱喝水的小朋友都争先恐后地自觉饮水，离园前都很开心地拉着家长的手一起数着小鱼所吐的泡泡数，家长和孩子一起学数数，一起按各种规律排序，家长们都很满意。这个活动在真实的生活中自然地渗透数学教育，这样能使幼儿在一具比较长的时间内，在一个宽松的环境中积累各种经验，教师也能更充分地观察、了解幼儿操作学*的情况和学*难点，准确地把握幼儿不同的发展水*。
2、将数学融入到游戏中
好奇心和想象力是幼儿主动学*的动力，为了引发他们强烈的学*动机，利用玩具和游戏寓教于乐，是幼儿最容易接受、最乐于参与的一种学*模式，而幼儿每一次玩，可能都有不同的玩法、不同的点子，无形中就培养了灵活的想象力和创造力。
为孩子们“学中有乐，乐中会学”带来了一股清新的空气，耕耘出一片希望的`田野，张扬起一叶走向成功的风帆。现代教育就是生活、生长和经验的改造，离开生活和经验就没有生长，也就没有教育。教师的任务就是创设教学情境，激发幼儿的学*兴趣，诱导幼儿投入到丰富多彩、充满活力的数学学*活动中去，让幼儿亲身经历数学知识的形成过程，也就是经历一个丰富、生动的思维活动过程，经历一个实践和创新的过程，从中体验探索数学知识的乐趣，使幼儿获得数学学*的乐趣和信心，认识到数学的意义和价值，使幼儿不仅“喜欢数学”，而且“会做数学”、“会用数学”，促进每个幼儿在不同水*上的提高，真正使幼儿在情感、能力、知识等方面获得全面发展，使他们在快乐数学中快乐地成长。
生活是数学学*的重要资源。著名数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之需，无处不用数学。”读《快乐数学》我总结了一下几点：
一、教学课堂因游戏而“活”。
传统的教育方法显然不能培养幼儿的创新思维和能力，只有通过发现式、启发式、讨论式等先进的教学方法，才能调动幼儿的主动性、自觉性。教育学认为：快乐教育活动强调的是孩子的主体实践和亲身体验，要求的是孩子主动参与、自主活动，气氛充满活力，让孩子在快乐中学会学*，学会生活。激发幼儿的想象力和思维力，多采用启发、引导、积极参与等方法，指导幼儿勇敢大胆地探究问题。
培养幼儿发现问题、分析问题、解决问题的勇气和能力，应从幼儿园实际出发，根据数学教学中的不同内容、不同教学目标、幼儿的个性差异，选择一种或几种最优的教学方法，综合加以运用，灵活多变。
二、努力寻找幼儿生活中的数学教育现象，作为数学教育的题材。
例如，老师、小朋友身上服饰的颜色、图案，周围物体的形状、大小、多少，人与人之间的高矮，手指的长短、粗细等都能潜移默化孩子的感性认识，并通过活动上升为理性的认识。
又如在幼儿用书《快乐数字》中寻找幼儿生活中所熟悉的日历、时钟、邮票、图书、衣服、电话机、遥控器、针筒等物品，让幼儿在找找、玩玩、说说中发现生活中有趣的'数字现象，并通过想象讲述，如果生活中没有数字会怎么样？让幼儿带着问题寻找生活中的数字，说说它的用途，从而使幼儿在生活中常用一双会发现的眼睛，去不断获得新的经验。
三、把数学教育内容生活化、游戏化。
1、将数学渗透在生活中
让幼儿在生活中学*，在学*中生活，让学*服务生活、提高生活质量。我在小班开展《认识图形》的系列活动中就充分挖掘周围存在的各种颜色、图形，墙上的各种图形及图形组合，通过让幼儿用不同颜色、不同形状的“砖头”辅路，用各种颜色、形状的亮光纸装饰墙壁，给小动物喂饼干等游戏化的活动形式，让幼儿在轻松愉快的气氛中主动学*，巩固对图形及图形组合的认识。
又如《按物体的长短、大小排列》的活动，让幼儿在愉快吃点心的过程中，自然地比较饼干的长短，并按长短进行排序；布置“小鱼吹泡泡”的墙饰，让幼儿喝完一杯水，就在自己做的小鱼嘴边有规律地贴上一个“图片”，今天喝了几杯水，小鱼嘴边就多几个泡泡。以前孩子在园都懒得喝水，家长和老师都很担心这种炎热的天气不喝水是不行的。通过该活动，不爱喝水的小朋友都争先恐后地自觉饮水，离园前都很开心地拉着家长的手一起数着小鱼所吐的泡泡数，家长和孩子一起学数数，一起按各种规律排序，家长们都很满意。
这个活动在真实的生活中自然地渗透数学教育，这样能使幼儿在一具比较长的时间内，在一个宽松的环境中积累各种经验，教师也能更充分地观察、了解幼儿操作学*的情况和学*难点，准确地把握幼儿不同的发展水*。
2、将数学融入到游戏中
好奇心和想象力是幼儿主动学*的动力，为了引发他们强烈的学*动机，利用玩具和游戏寓教于乐，是幼儿最容易接受、最乐于参与的一种学*模式，而幼儿每一次玩，可能都有不同的玩法、不同的点子，无形中就培养了灵活的想象力和创造力。
为孩子们“学中有乐，乐中会学”带来了一股清新的空气，耕耘出一片希望的田野，张扬起一叶走向成功的风帆。现代教育就是生活、生长和经验的改造，离开生活和经验就没有生长，也就没有教育。教师的任务就是创设教学情境，激发幼儿的学*兴趣，诱导幼儿投入到丰富多彩、充满活力的数学学*活动中去，让幼儿亲身经历数学知识的形成过程，也就是经历一个丰富、生动的思维活动过程。
经历一个实践和创新的过程，从中体验探索数学知识的乐趣，使幼儿获得数学学*的乐趣和信心，认识到数学的意义和价值，使幼儿不仅“喜欢数学”，而且“会做数学”、“会用数学”，促进每个幼儿在不同水*上的提高，真正使幼儿在情感、能力、知识等方面获得全面发展，使他们在快乐数学中快乐地成长。
——《数学之美》读后感 (菁华3篇)
我是在读了吴军博士的《浪潮之巅》之后，发现推荐了《数学之美》这本书。我到豆瓣读书上看了看评价，就果断在当当上下单买了一本研读。本来我以为这是一本充满各种数学专业术语的书，读后让我非常震撼的是吴军博士居然能用非常通俗的语言将自然语言处理等高深理论解释的相当简单。
在李开复博士之后，吴军博士又成为了目前备受瞩目的具有深厚技术背景的作家。对于我来说，读这本书有扫盲的功效，让我知道了很多以前不知道的东西。我的想法是在研究生阶段，不只局限于导师的研究方向，通过更加广泛的涉猎知识，去寻找一个自己喜欢的研究领域。如果找到了这样一个领域，那么我就读博士。如果没有的话，那么我想还是工作算了。
1、学科之间的联系是如此的重要。
全书主要是围绕着吴军博士所研究的自然语言处理方向来讲述一些应用在这个研究领域的数学知识，用了很大篇幅讲解了将通信的原理应用到自然语言处理上所取得的巨大成功。以前学*计算机网络的时候，学过一个香农定理。对香农的认识就从香农定理开始，因为考研会考相关的计算题。看了这本书才知道，香农的《信息论》对今天的影响真的是不可估量。通过这样一个过程，我也对以前的本科学校的学科建设产生了一些忧虑。
对于培养计算机人才来说，无论是培养应用型人才，还是培养研究型人才，都应该与电子、通信有一定的交叉，这样对学生思考问题的启发与视野的开阔有着重要的作用。计算机本身就是从电子、通信、数学等学科中抽出来的新兴的学科，在发展了多年之后，我们发现它仍然需要继承一些传统。回想自己的本科四年，上的更多的课时语言类、技术类的课程，这些课程的确对提升学生的就业有很大帮助。但是我想说的是，一个忽视数学基础、学科交叉的学校，他无法成为一所国内的一流大学。作为一个母校培养的学生，我深知改革的阻力与困难，但是我希望母校的计算机学院能越办越好。我们现在已经培养出很多高薪优秀的技术人才，我希望将来也能培养出更多的研究型人才。
2、看起来很牛的东西却用着难以置信的简单数学原理。
在整本书中让我最为印象深刻的是解释Google搜索的原理，居然就是简单的布尔代数运算。这个的确让我大跌眼镜，我一直认为搜索时一个非常复杂而庞大的问题，其数学原理也是相当高深的，但是吴军博士的解释让我大开眼界。与此同时也知道了Google为什么牛，牛在哪了。搜索的原理虽然非常简单，但是搜索是一个需要对海量数据进行操作的工作。Google在海量数据的处理方面的确是相当先进的，MapReduce、BigTable等等一些技术的发明与应用使得Google在搜索上无出其右。目前分布式存储、分布式计算、数据仓库与存储等研究领域*些年来的大热也说明Google在引领研究方向上的超凡本领。
3、感谢概率老师的教诲。
在大二的时候，有一个在我们学生中声望很高的概率老师，他在课程即将结束的时候跟我们说我们将的是前几章，这些事概率论与数理统计的基础。对于你们计算机的学生来时，后面的章节才是最有用的，以后一定要好好的研究，弄上一两个在你的毕业设计上就会让你毕业设计提升一个档次，有可能验收你毕业设计的老师也不懂。我当时对他的话没有特别在意，我只关心期末考试要考哪些题目，因为我那个学期的概率课基本上都在睡觉，只有他讲笑话的时候不睡。
我看《数学之美》后发现马尔科夫链、贝叶斯网络之后，对以前的概率老师充满无限的敬意。我发现我们再本科阶段学*的《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》在计算机学科应用较多的要数概率论与数理统计，还有一门我学的不好的《离散数学》在计算机中也是有着举足轻重的地位。
我在看米歇尔的《机器学*》时也发现很多熟悉的概率论与数理统计的知识，这让我不得不开始考虑重新弥补自己的数学短板。我的想法是在研一这一年把概率论与数理统计、线性代数、离散数学尽我最大的努力补一补，希望他们对我今后的学*有所帮助。
4、说说作者吴军博士。
吴军博士写的书对于学*计算机的学生来说，读起来有种说不出的亲切感。可能这跟他是技术出身的原因有关，流畅的文笔、质朴的文风也让人读起来很舒服。看高晓松在优酷上的《晓说》就知道，在硅谷有着众多的华裔工程师，他们很多都来自清华、北大等国内的名牌大学，这些人在美国实现着自己的梦想。吴军博士也曾是这其中的一员，我非常希望那些像吴军博士一样的牛人们能够写书或者来国内的大学做一些演讲、论坛等等，开阔一下我们的视野，传授一下做学问的经验。
与此同时，我也在想为什么我们国家那么多优秀的IT人才都去了美国。这个问题在我去苹果公司在东软信息学院组织的培训过程中得到了答案，那个南京邮电的老师讲了讲*为什么不像美国那么有创造力。我们*人并不缺乏创造力，很多时候是我们所处的外部环境恰恰阻碍了创新。我想那么多优秀的清华北大学子纷纷到大洋彼岸的美国，正是被美国开放的学术环境、创新氛围所吸引，每个人都有自己的梦想，他们去美国也是为了能实现自己的梦想。以前都觉得他们是不爱国，现在长大了，对于这个问题看得更清楚了一点。
我想说我们的祖国在经历了改革开放30多年的飞速发展之后，目前正处于一个关键和脆弱的时期。我们靠着人口红利取得了巨大的成就，我们能不能凭借人才红利取得更大的成就还是未知。希望有更多的人才能像李开复博士、吴军博士那样，为我们这个民族青年的成长和国家发展做出贡献。
上个月去北京开会，顺道拜访了人民邮电出版社，合作多年的编辑陈冀康赠我一本《数学之美》，说一定是我喜欢看的类型。以前也在网上零散看过Google黑板报上吴军先生的文章，对他的前一本书《浪潮之颠》也有耳闻，但没有读过。这次有机会集中阅读他的文章，确实是一段美妙的体验。
读完这本书有一点强烈的感受：工具一定要先进。数学是强大的工具，计算机也是。这两种工具结合在一起，造就了强大的google、百度、亚马逊、阿里、京东、腾迅等公司。他们不是百年老店，但他们掌握了先进的工具。
掌握了先进的工具，必将获得竞争优势。如果你知道哪里有一群软件工程师，维护着更大的一群计算机，那么不要犹豫，想办法使用他们提供的服务，因为这会给你带来优势。所以我们使用Google的搜索和邮件，在亚马逊、京东和淘宝上购物，用QQ和微博联系朋友，使用银行卡和网上银行，利用交易终端在全球市场上进行各种交易。
人类历史就是一部工具的进化史。石器、青铜、铁器、火药、蒸汽机、内燃机、电报、电话、电视、计算机、卫星、互联网，工具的进步引领着文明的进步。新的工具不断淘汰老的工具，就像互联网视频点播正在淘汰电视、微博正在淘汰报纸、电子书正在淘汰纸质书那样。
但有一些古老的工具，今天仍有人在学*和使用，甚至在上面花费许多时间。毛笔就是这样一个例子。今天学*掌握毛笔这种“落后的”工具，还有什么意义？其实我们在使用一些“落后的”工具时，主要是在学*工具背后的思想。
书法和绘画中蕴含的艺术审美的一般原则，经得起具体工具变迁的考验。甲骨文、金文、石鼓文所包含的对空间构图的理解，仍然值得现代人学*。思想工具是比实物工具更强大的工具。
工具组合使用，形成更强大的新工具。《数学之美》中提到的马尔可夫链虽然是很强大的工具，但我在数学课上没有听老师提到过。这本书中给我印象最深的例子是余弦定理和新闻分类。余弦定理是中学数学，再加上一些不算很难的多维向量的知识，竟然解决了计算机新闻分类这样的难题！
每一种工具的背后，是人们对世界的一种理解。蒸汽机和内燃机背后，是力学的世界。电报、电话、电视、计算机和互联网背后，是信息的世界。数学是抽象的工具，是其他工具背后的工具。每一门学科要成为科学，都少不了数学。也许有一天人们会*惯，用数学工具来分析艺术。数学是一种语言，它源于具体的世界，又高于具体的世界。如果说语言是对世界的认识和描述，如果说数学是一种语言，那么它一定是最接*神的语言。看似毫不相关，却又能描述万事万物。
学*数学有什么用？物理学家费曼当年在大一时提出这个问题，他的师兄建议他转到物理系。今天，这个问题已不成为问题。具有扎实数学功底的人才正进入各行各业，例如金融业。我认识一个出版社的老总，他招应届毕业生有一个条件：数学要好。
工具虽好，关键还要会用。最终要回到掌握先进工具的人。软件算法工程师加上计算机集群，这是目前一流企业必需的装备。正如马克.安德森所说的，各行各业的一流公司，都是软件公司。优秀的软件算法工程师，是人才争夺的焦点。这样，我们就容易理解Google招工程师的要求。
对信息加工处理和传递的能力不断增强，是知识经济的特点。《数学之美》展示了Google如何运用数学和计算机网络，带领我们进入云计算和大数据时代。
知识经济时代的工作，就是在各自的领域中进行科学研究。科学研究要大胆假设，小心求证。科学研究要量化。科学研究要有对比实验。科学研究要有数学模型。科学研究要有田野调查。科学研究要有文献查证。科学研究要有同行评议。《数学之美》向我们介绍了自然语言分析领域的科研方法和过程。
任何一个领域，深入进去都有无数的细节。有兴趣的人不但没被这些细节吓倒，反而会兴致勃勃地研究，从而达到令人仰慕的高度。吴军先生向我们展示了数学和算法中的这些细节，也展示了他所达到的高度。值得我学*。
感谢吴军先生分享他的知识和深刻见解，也感谢人民邮电出版社出了这样一本好书。
我在想，为什么我们要学*数学？也许这个问题成年人有一万个答案，可是当我们第一次走进教室，学*数学的时候，大概率还是个孩子，你怎么跟一个孩子解释为什么要学*数学呢？我把这个问题抛给了一个朋友，他说：“为了提高思维逻辑能力，这是我初中老师在第一节数学课上告诉我们的”。或者一位5岁的小朋友又会问：“什么是逻辑能力呢？”
也许从出生第一天，我们就一直在被动的接收一些东西，父母的劝导，老师的传授，可5岁的孩子还是会把玩具散落一地，6岁的孩子仍然会因为父母不给买玩具而嗷嗷大哭，无论你怎么劝导一个人，怎么劝诫一个人，他可能仍然会犯你认为会出现的错误。我记得有位教育专家这么说：“你告诉宝宝他把玩具弄坏了，就等于丢了10个棒棒糖”，从此以后这个宝宝可能会更加珍惜玩具。这个方法很简单，但是貌似最有效。数学是什么？数学不就是把复杂的东西简单化么？
现在我们再回答前面的问题：为什么我要学*数学？我们可以这么跟5岁的小朋友说：“妈妈给你10元钱，让你买酱油，酱油7元、棒棒糖1元一个，剩下的钱你可以买几个棒棒糖？”或许想吃棒棒糖的就会苦思冥想一番，或许未来妈妈真的给他10元钱去买酱油，结果回来就变成了一瓶酱油和3个棒棒糖。或者再过一段时间，这位小朋友会选择6元的酱油，因为可以获得4个棒棒糖了。他这么计算着：7+3和6+4都可以等于10，那么如果要必须买酱油的情况下，1+9也可以等于10。我们都知道也有1元的袋装酱油，于是9个棒棒糖到手了。任何知识的魅力都在于自我的发现，只有你对它产生了无限的兴趣，你就会不断的发现它的美，《数学之美》也可以变成《物理之美》。
有些人会说，上面的例子是利益驱动型，不是兴趣驱动型，对于一个孩子来说，你能指望他向**那样：“我需要的不是物质世界，我需要的是精神世界？”5岁宝宝最喜欢做得事情就是在吃和玩上面，请问，成年人不也是如此么？这就是天性。只不过成年人的自控能力足够大罢了。
我们回到书本上，这本书是否合适自己？如果没有专业的数学知识，很难读懂。但是它又有着无限的魅力，让你不自觉的读下去，为什么？因为“数学之美”，虽然大多数人看不懂里面的公式，但是能够明白数学能解决的问题：概率统计学能够解决自然语言处理、布尔代数能解决搜索引擎的问题、有限状态机和动态规划能解决地图问题、向量+特征向量+余弦定理能解决自动新闻分类问题、最大熵模型解决金融问题，看着看着我就莫名的产生了一种想要学*算法的冲动，这不就是本书的意义所在么？
最后，我推荐几个章节希望有兴趣的读者可以关注下：
1. 信息指纹，可以让复杂的数据用简单的一串数字存储
2. 13章，提到的简单之美。当然之后多次提到
3. 余弦定理（通过向量+特征向量+余弦定理）可以判断两条数据的相似性
4. 17章，简单密码学（对密码感兴趣的可以看看）
5. 布隆过滤器，用很少的空间存储大量的数据，从而解决黑名单的问题（黑名单数据量庞大的时候，会增加判断某一个名单是否出现过的难度）。
6. 29章，分治算法，虽然没有很明白算法，但是原理其实很简单：把复杂的东西拆分成若干小的部分，然后进行逐个解决或者说各个击破
7. 30章，神经网络，其实没那么神秘，神经就好比一个网络（马尔科夫模型+贝叶斯网络）中的各个节点而已。
8. 31章，大数据，这章是最推荐看的，而且没有很多专业的知识，一看就懂。不是什么都可以称之为大数据的，大数据需要满足几个条件：数据的代表性、数据的多维度、数据的完备性。现在有很多公司都自称自己有大数据，请不要侮辱大数据这个词。顺便说一下像百度这样的公司，*几年都在大数据上深耕，据我了解，比如医疗上面的项目，宁可免费做，只要求能够得到医疗方面的大数据，可见其对大数据的重视程度。
——《马小跳玩数学》的读后感 (菁华3篇)
今天我读了《马小跳玩数学》的神秘成绩单和原来算式是几乘几。神秘的成绩单主要内容是一学期期末考试结束了，成绩单很快就出来了，马小跳刚想收起成绩单，可是被路曼曼给弄湿了。回家后，马小跳让贪玩的爸爸和宝贝妈妈猜一猜自己的考试成绩，马小跳的老爸在纸上算了算，然后对马小跳说：“数学考的不错，可是如果你的英语和语文考的再好一些就更好了。”我从中学到了，各门功课都要认真学*，不能偏科。
在读了原来算式是几乘几中，同学们盼望已久的暑假来到了，大家在玩耍中还要忙着写作业，在马小跳家里的时候，建议同学们先写作业后然后再玩，做了一会作业后，唐飞建议大家相互检查作业的情况。在检查作业的过程中，唐飞发现马虎的安琪儿有一道题的答案和大家都不一样，把乘数78写成了87，安琪儿赶忙把正确的.答案写了上去。
我从中学到了做作业一定要认真检查，不要等同学或家长来帮你检车，我以后要认真检查作业。
它是*作家杨红樱的佳作，也是一套专门为小学生编写的趣味科普读物。它让我在书中去发现大千世界的自然奇观，去探索一个又一个的科学奥秘，去思考神秘的生命现象，去学*独立生活的小窍门。这套书一共分为春夏秋冬四卷，有很强的可读性。它的内容生动活泼，语调轻松诙谐，我喜欢。
作者可真是别有用心啊，分为四卷的科普书，我读过后让我增长了不少的科学知识，你心中想知道的问题，书中都能给你答案，知道了：人为什么不长尾巴；一吨铁重还是一吨木头重；月亮上的铁不生锈；*视是吃出来的；为什么电池一定要彻底放电……我来告诉你们一些吧！一吨铁重还是一吨木头重，你一定会回答：“一样重。”“错！”我来告诉你答案吧！这是一个有趣的问题，答案是许多人意想不到的：“是一吨木头重。”确切地说，在空气里重一吨的木头的真正重量，比在空气里重一吨的铁的真正重量要重哦！月亮上的铁不生锈，不可能吧！生活中的铁我知道都是会生锈的啊。从书里我了解到，原来，月球缺乏地球外围的防护大气层，在受到太阳风冲击时，各种物质表层的氧均被带走，因此具有对氧的稳定“免疫性”，以致月亮上的铁被带到地球也能抗拒锈蚀。*视是吃出来的。
你们相信吗？现在的小朋友喜欢吃甜食，**细地食物过多，吃硬质地食物过少，吃粗粮太少，所以这些都是增加*视的原因哦！原来眼睛*视还有这么多原因啊！我很吃惊。读过《马小跳爱科学》让我觉得真是受益匪浅啊！给了我很大的启发。在生活中和学*中，我们要勇于探索、勇于追求科学真理。从小要学好知识，长大去探索科学的奥秘。
我自从读了《马小跳玩数学》这本书的时候，我就爱上了数学。
读完这本书之后，我感受到了数学就在我们的身边，数学知识的强大。马小跳、毛超、唐飞、张达的人，用数学的眼光解决了生活中的难题。他们用数学的力量从热带雨林里面的红毛人的手中逃脱、用数学算出了数学王国的密码、研发出了煎荷包蛋的秘诀、算出了老爷爷和老奶奶的年龄。
在这本书中，“四大金刚”精通数学。但是有些时候也难免会遇到不会的难题。他们谦虚的请教比自己厉害的人物，这种学*的.品质值得我们学*。
读了这本书，我对马小跳的印象很深刻，活泼、可爱、淘气、顽皮，形成了一个淘气包的形象。而我对唐飞的印象也更深刻，他是一个真诚、爱吃、热于助人的好孩子，形成了一个吃货的形象。而丁文涛给我留下的印象并不看好，虽然他精通数学，但是他有时还会撒谎、还时不时为难马小跳，就因为这两点，他让我觉得很厌恶。
读了《马小跳玩数学》这本书之后，我深深地爱上了数学阅读。
——《数学大战》读后感 (菁华3篇)
故事从一个不爱学*数学的同学开始的，他的名字叫知修（不知道是不是知羞）。每天喜欢做各种各样的梦，一次居然在课堂中睡觉还误伤了老师，但是他的故事拉开了帷幕。他的另外一个身份也被曝光，原来他是拯救数学世界的英雄——X骑士。
通过各种情节，穿插了很多我们喜欢的角色如亚特兰蒂斯的乘法魔术师美娜，无限魔王的助手阿修罗，依托尼亚王国的圣骑士普拉同，精灵族战士拉姆，矮人军团的团长大山，美娜的师傅乘法道长等人。随着引人入胜的剧情发展，我们从认识1开始，到1的加法运用，乘法的运用，和很多数学概念的引出，让我们在享受漫画书故事的同时懂得了许多数学上的道理。
我已经从第一集看到了第五集，已经是深受启发，我也喜欢上了《幻想数学大战》这本书，也更加喜欢数学这门功课，认识到数学和我们生活紧紧相连，学*数学，原来也是一件非常有趣的事情啊。
《幻想数学大战》是一套非常有意思地漫画书。而且，它不仅有意思，还讲了许多数学知识。下面，我就来简单的介绍一下吧！
我第一次发现，老师居然会推荐我们看一套漫画书，而且还是打怪兽的漫画书！算了，老师的命令就要遵从啊！看着看着，我就入迷了。因为这套书里的数学知识，就算我学过了，也想在学一遍。用我们爱看的漫画来表达数学，使枯燥的数学变得更生动、有趣。
这套书有说到，加、减、乘、除、自然数、分数等各种无处不在的数学。后来我从书中发现，周围所有的东西都离不开数学。比如：盖房子用到数学，买窗帘用到了数学，就连做简单的衣服也用到了数学。而我们一直认为非常伟大的科学，也是建立数学的基础上。
大家也许会问：“我们为什么要学数学？”而我地回答是：“因为放弃数学的人=放弃人生的人。”这是我的感受。
暑假里，我读了一套叫《幻想数学大战》的书，它来源于韩国，是韩国最受儿童欢迎的数学漫画书，在韩国销售量排名第一。
这本书巧妙地把数学和漫画结合起来，以惊险刺激的故事情节吸引读者对数学的兴趣。书里的小主人公——知修和他的朋友们率领勇敢的精灵和聪明的人类在数学世界里巧妙运用加减乘除的组合，打败了各种化身为魔兽的数值。在这期间，他不但增加了自己的数学能力，更培养了无限的勇气、智慧和正义感。
读完了这套书，我觉得数学这门功课很重要，以后不管做什么都会用到数学知识。学*数学并不难，只要用对方法，谁都可以学好。关健是要对数学有兴趣，不能畏惧它，而且还要打心底里喜欢数学，只有那样才能体会到学*数学的快乐。
——《真要命的旅行》读后感范文5份
这本书的主人公是一只叫杰罗尼摩·斯蒂顿的老鼠。它是一只博学、聪明的老鼠，是《鼠民公报》的总经理、总编辑。它受到了表弟赖皮和赖皮的好朋友圆滑鼠的欺骗，经历了一次要命的旅行。
这次旅行发生了一些令人惊讶的事情，有的令人哭笑不得，有的令人捧腹大笑……
内容大概是这样：身心疲惫的杰罗尼摩（老鼠）决定要去休假。懵懵懂懂中，他接受了一个叫“赖皮”朋友开的旅行社替他安排行程，由此开始了一系列令他啼笑皆非的倒霉旅行。
杰罗尼摩坐在一架破飞机上已经非常不舒适了，旁边却还坐着一只令人讨厌的小老鼠，它还做了一些令人讨厌的事情，比如：它趁杰罗尼摩不注意，把它的`奶酪糖果偷走了。这件事让我体会到：如果小孩子不讲道理的话，大家都不会喜欢他的。我以后要做一个讲道理、懂礼貌、守规矩的好孩子。
杰罗尼摩在一个酒店门口看到“欠迎”两个字，仔细想想，原来“欠”是个错别字，因为左边少了个“又”字。原来错别字经常都会给别人造成误解，我以后要尽量少写错别字，以免闹笑话。
杰罗尼摩住的房间可真差：发霉的墙、脏兮兮的床、发黑的毛巾、不出水的龙头，还有一个爬满蟑螂的洗手间……我觉得这哪是酒店啊，这简直就是一个垃圾场嘛！它可真倒霉。还有那些令人胆战心惊的项目……这哪是什么休假，简直是一场要鼠命的噩梦！我可就幸运多了：每次旅行我都可以住很舒适的酒店，吃各种各样的美味佳肴，这都是爸爸妈妈精心为我安排的。爸爸妈妈对我真好，感觉自己真幸福。
最后，杰罗尼摩把它要命的旅行写成了一本书，这本书受到了广大鼠民的喜爱，这让它得到了意想不到的收获。这个故事告诉我们一个道理：只要我们从不好的事情里吸取好的经验，坏事往往能变成好事。
这本书很好，它搞笑、惊险、诡秘、玄妙、动感。最可笑的是在沙滩上，杰罗尼摩一旁的老鼠，跟着音乐的节奏，用脚打拍子，沙子扬在杰罗尼摩的脸上。他第一次非常礼貌的说了：“沙”而那只老鼠听成“渣”；第二次他说：“沙沙”，那只老鼠听成了“爸爸”；最后他大声说：“沙-------”可那只老鼠听成了“花------”这样一直打岔很搞笑。当然书中还有很多好笑的，如果你想知道的话，也赶紧来读吧。
我喜欢这本书，因为作者写得很夸张、很惊险、很有趣，而且充满了想象力。我读它的时候经常忍不住哈哈大笑。我觉得杰罗尼摩能在一个毁灭的心情还没有诞生的时候，已经把那心情拆除，所以他虽然遇到了那么多挫折，仍然生活的无忧无虑。遇到困难时不能依靠别人，冷静思考，寻求解决问题的办法，如果我要是遇到了这么多不如意的事情，我一定要像杰罗尼摩一样去乐观的对待，并且很快把不开心丢掉，调整心情，积极自信地迎接新的一天。
非常感谢妈妈给我买了这本书，也希望自己能够经历、享受一次快乐的旅行，当然是有惊无险、夸张有趣的那种。
当品读完一部作品后，相信大家都有很多值得分享的东西，让我们好好写份读后感，把你的收获和感想记录下来吧。千万不能认为读后感随便应付就可以，下面是小编收集整理的《真要命的旅行》读后感，仅供参考，希望能够帮助到大家。
《真要命的旅行》是写一只叫杰罗尼摩的老鼠在旅行途中发生的一系列的倒霉事。他在旅行中坐上一架破飞机，被一只讨厌的小老鼠弄得不堪设想，后来再来个穿越森林的自助脚踏车旅行，疲惫的杰罗尼摩到达目的地以后，才发现是一家鼠洞酒店，一进客房就看见房间里破烂的家具，卫生间满是恶心的蟑螂。
我很同情杰罗尼摩，因为他被表弟欺骗了。这个故事提醒我们，在日常生活中不能轻易相信别人的话，要有一定的判断能力。同时我们也要学*杰罗尼摩的乐观，把不开心的事情很快忘记，调整心态，开开心心地迎接每一天！
期末大考结束了，快乐充实的暑假迈着清脆的脚步来到了我们的身旁。在这愉快的假期里，我读了一本幽默而又能让人笑破肚皮的书，那就是《真要命的旅行》。故事的主人公是一只叫杰罗尼摩的老鼠，他的口头禅是我真讨厌旅行，但还每次能使他的奇妙的旅行充满乐趣。
这个故事主要讲述了杰罗尼摩的一段令他啼笑皆非的倒霉旅行。在一架破飞机上，他被一只讨厌的小老鼠弄得不堪设想，然后再来个穿越森林的自助脚踏车旅行，疲惫的杰罗尼摩到达目的地以后，才发现这是个名副其实的鼠洞酒店，一进客房，就看见了这样一些"美好"的景象：污秽不堪的家具、虱飞四处的破床、满是蟑螂的卫生间、锈迹斑斑的浴缸…。
我很同情杰罗尼摩，因为他被他的表弟赖皮利用了。这就让我想起了，在我们日常生活中，不能轻易相信别人的话，要具有一定的判断能力。杰罗尼摩轻易相信了表弟，上了当。所以我们不能像杰罗尼摩那样懵懵懂懂，想相信自己，这样才不容易上当受骗哦。
在这本书里，我最喜欢的故事是《与鲨鱼共泳》。杰罗尼摩去游泳，于是他塞上耳塞，想悠闲地享受水中的乐趣。船上的救生员对他大喊："小心，有鲨鱼！"可带着耳塞的它却全然不知，幸运的是没过一会儿，他自己感到了情况不妙，发现了鲨鱼在向自己靠*，就立即上了岸。通过这个小故事，我们也应该知道，暑假里，很多小朋友会选择去游泳，显而易见是为了凉快呗！可是，小伙伴们一定要注意安全，也一定到牢记爸爸妈妈的话，千万不能为了贪玩，做出危险的事情来。
《真要命的旅行》这本书主要讲述：杰罗尼摩・斯蒂顿想给自己一个假期，可是它在写这本书之前，就已经过了一个自己不满意的噩梦假期了。它先乘坐一架已经破旧的飞机飞到波多猫各，然后骑着三轮车穿越森林来到鼠洞酒店，他还没来得及高兴，就已经发现，鼠洞酒店只是一座下榻的破烂酒店。酒店里浓烟滚滚、虫飞四处，满是蟑螂的洗手间、生锈了的大浴缸、充满腥味的食物、它还是住在了这里。第2天的早餐只是简简单单的牛角面包和咖啡，可是牛角面包吃起来像橡胶，咖啡的'味道像泥巴水。居然要30块大元，杰罗尼摩・斯蒂顿才感到自己受骗了。于是，它前往沙滩，可是到沙滩还有1个小时路程，它来到一间商店买了一杯柠檬汁。直到它看见价格牌才知道柠檬汁是50美元。它快破产了�u回到妙鼠城它把自己游畅的内容都写下来，写出了一本书。这本书的名字就是《真要命的旅行》。
面对这么多的困难它都挺过来了。读后从中懂得了做人要能吃苦，它那种碰到困难永不退缩的意志力值得我们学*。
《真要命的旅行》这本书的主人公是一只叫杰罗尼摩·斯蒂顿的老鼠，它是一只博学、聪明的老鼠，是《鼠民公报》的总经理、总编辑。它受到了表弟赖皮和赖皮的好朋友圆滑鼠的欺骗，经历了一次要命的旅行。
这次旅行发生了一些令人惊讶的事情，有的令人哭笑不得，有的令人捧腹大笑。
杰罗尼摩坐在一架破飞机上已经非常不舒适了，旁边却还坐着一只令人讨厌的小老鼠，它还做了一些令人讨厌的事情，比如：它趁杰罗尼摩不注意，把它的奶酪糖果偷走了。这件事让我体会到：如果小孩子不讲道理的话，大家都不会喜欢他的。我以后要做一个讲道理、懂礼貌、守规矩的好孩子。
杰罗尼摩在一个酒店门口看到“欠迎”两个字，仔细想想，原来“欠”是个错别字，因为左边少了个“又”字。原来错别字经常都会给别人造成误解，我以后要尽量少写错别字，以免闹笑话。
杰罗尼摩住的房间可真差：发霉的墙、脏兮兮的床、发黑的毛巾、不出水的龙头，还有一个爬满蟑螂的洗手间。我觉得这哪是酒店啊，这简直就是一个垃圾场嘛！它可真倒霉。我可就幸运多了：每次旅行我都可以住很舒适的酒店，吃各种各样的美味佳肴，这都是爸爸妈妈精心为我安排的。爸爸妈妈对我真好，我真幸福。
最后，杰罗尼摩把它的要命的旅行写成了一本书，这本书受到了广大鼠民的喜爱，这让它得到了意想不到的收获。这个故事告诉我们一个道理：只要我们从不好的事情里吸取好的经验，坏事往往能变成好事。
我喜欢这本书，因为作者写得很夸张、很惊险、很有趣，而且充满了想象力。我读它的时候经常忍不住哈哈大笑。我真希望妈妈能给我买一整套的《老鼠记者》。
